Etude des fonctions hyperboliques (ch, sh, th et leurs réciproques)

Sommaire

Introduction
La fonction ch
La fonction sh
Formules entre ch et sh
La fonction th
La fonction coth
La fonction argch
La fonction argsh
la fonction argth
Exercices

Introduction

Nous allons étudier dans ce chapitre les fonctions hyperboliques.
Ce ne sont pas de nouvelles fonctions à proprement parler mais plutôt des fonctions particulières puisqu’elles s’expriment avec la fonction exponentielle notamment.
Mais nous verrons que ces fonctions ont de nombreuses propriétés intéressantes.
Nous étudierons également leurs réciproques, ainsi que l’intérêt de toutes ces fonctions.

La fonction ch

La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est définie sur $\mathbb{R}$ par la relation suivante :

$ch(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Cette fonction est bien définie sur $\mathbb{R}$ puisque la fonction exponentielle l’est également.

L’expression doit te rappeler la formule d’Euler, selon laquelle :

$cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

On a ainsi :

$ch(ix) = cos(x)$

C’est une première piste expliquant le lien entre ch et cos (nous en verrons plein d’autres !).

Voyons à quoi ressemble ch graphiquement :

Courbe de la fonction cosinus hyperbolique

Quelques propriétés remarquables visibles sur la courbe :

$ch(0) = 1$

$ch(x) \gt 0 \forall x \in \mathbb{R}$
et même mieux :

$ch(x) \ge 1 \forall x \in \mathbb{R}$

On voit aussi que ch est paire (tu peux faire la démonstration tout seul, elle est vraiment simple ) :

$ch(-x) = ch(x)$

De plus, en terme de limites :

$\lim_{x \to +\infty}ch(x) = \lim_{x \to -\infty}ch(x) = +\infty$

Par ailleurs, comme la fonction exponentielle l’emporte sur x par croissance comparée, on pourrait montrer facilement que :

$\lim_{x \to +\infty}\frac{ch(x)}{x} = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{ch(x)}{x} = -\infty$

Enfin, nous pouvons parler du développement limité de ch en 0, qui se trouve grâce aux DL de e^x en 0 :

$ch(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ... + \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p})$

On remarque qu’il s’agit du même DL que la fonction cosinus mais avec uniquement des +, alors que celui de cosinus alterne + et -.
Ce n’est d’ailleurs pas la seule chose quasi-similaire à cos :
– ch(0) = 1 et cos(0) = 1
– ch et cos sont paires

Nous verrons qu’il existe les mêmes similitudes avec sh, et que des formules avec ch et sh ressemblent fortement à celles avec cos et sin.

Ce sera notamment le cas pour la dérivée de ch que nous étudierons plus loin dans le cours (car il y a un rapport avec la fonction sh…).

La fonction sh

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La fonction sinus hyperbolique, notée sh, est définie sur $\mathbb{R}$ par la relation suivante :

$sh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

On voit qu’il s’agit de la même expression que ch mais avec un – à la place du +.
Cette fonction est bien définie sur $\mathbb{R}$ puisque la fonction exponentielle l’est également.

Là encore l’expression doit te rappeler la formule d’Euler :

$sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

On a donc :

$sh(ix) = isin(x)$
(attention au i !!)

Tu commences à voir le lien entre sh et sin…

La fonction sh ressemble graphiquement à cela :

Courbe de la fonction sinus hyperbolique

Quelques propriétés remarquables visibles sur la courbe :

$sh(0) = 0$

$sh(x) \gt 0 \forall x \in ]0 \, ; \, + \infty[$

$sh(x) \lt 0 \forall x \in ]-\infty \, ; \, 0[$

Par ailleurs, sh est impaire (là encore tu peux faire la démonstration tout seul, elle est vraiment simple ) :

$sh(-x) = -sh(x)$

En terme de limites :

$\lim_{x \to +\infty}sh(x) = + \infty \,\,\,\, et \, \lim_{x \to -\infty}sh(x) = -\infty$

De la même manière que pour ch, comme la fonction exponentielle l’emporte sur x par croissance comparée, on pourrait montrer facilement que :

$\lim_{x \to +\infty}\frac{sh(x)}{x} = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{sh(x)}{x} = +\infty$

Enfin, nous pouvons parler du développement limité de sh en 0, qui se trouve grâce aux DL de e^x en 0 :

$ch(x) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + ... + \frac{x^{2p+ 1}}{(2p + 1)!} + o(x^{2p + 1})$

De même que pour ch, on remarque qu’il s’agit du même DL que la fonction sinus mais avec uniquement des +, alors que celui de sinus alterne + et -.
Ce n’est d’ailleurs pas la seule chose quasi-similaire à sin :
– sh(0) = 0 et sin(0) = 0
– sh et sin sont impaires

Les similitudes entre sin et sh sont les mêmes qu’entre cos et ch, mais ce n’est pas tout !

Avant de voir les propriétés faisant intervenir ch et sh à la fois, regardons ce que cela donne si on superpose les courbes de ch et sh sur le même graphique :

courbes de cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

La chose la plus remarquable est que ch et sh se rapprochent de plus en plus en +∞.
C’est tout à fait logique puisqu’en +∞, e^-x est négligeable, donc ch et sh sont tous deux équivalents à e^x/2.

Par ailleurs, on voit que la courbe de ch est toujours au-dessus de celle de sh, ce qui se traduit mathématiquement par :

$ch(x) \gt sh(x) \forall x \in \mathbb{R}$

Cela peut se démontrer en calculant ch(x) – sh(x) et en montrant que le résultat est strictement positif (nous verrons juste après que ch(x) – sh(x) = e^-x qui est bien strictement positif).

Formules entre ch et sh

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La plupart des propriétés ci-dessus, comme celles ci-dessous, sont liées à celles de l’exponentielle puisque ch et sh sont définis avec cette fonction.
Ainsi on a les formules suivantes :

$ch(x) + sh(x) = e^x$

$ch(x) - sh(x) = e^{-x}$

Démontrons la 1ère formule (la 2ème se démontre très simplement de la même manière) :

$ch(x) + sh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} + \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$ch(x) + sh(x) = \frac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{2}$

$ch(x) + sh(x) = \frac{2e^x}{2}$

$ch(x) + sh(x) = e^x$

Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté !

Voyons maintenant la dérivée des fonctions ch et sh puisque l’on en parle depuis le début.
En dérivant les expressions de ch et sh avec les exponentielles, on pourrait montrer très facilement (entraîne-toi à le faire) que :

$ch'(x) = sh(x)$

$sh'(x) = ch(x)$

Cela ressemble fortement à cos et sin puisque cos'(x) = – sin(x) et sin'(x) = cos(x).
SAUF QUE pour ch et sh il n’y a pas de signe – comme dans cos'(x) = – sin(x).
C’est donc beaucoup plus simple

Ainsi, si l’on dérivé 2 fois ch, on retombe sur ch, et si on dérive 2 fois sh, on retombe sur… sh !
On pourrait démontrer par récurrence que si l’on dérive un nombre pair de fois ch, on retombe sur ch, et si on dérive un nombre impair de fois ch, on trouve sh.
Il en va de même pour sh.
Ainsi ch et sh sont de classe C^∞ (infiniment dérivables).

Par ailleurs, on sait que cos²(x) + sin²(x) = 1.
Ici, on a :

$ch^2(x) - sh^2(x) = 1$

Pour démontrer cela plusieurs possibilités :
– on peut par exemple remplacer ch(x) et sh(x) par leurs expressions avec exponentielle et développer avec l’identité remarquable mais c’est assez long…
– de manière plus intelligente on peut factoriser :
ch²(x) – sh²(x) = (ch(x) + sh(x))(ch(x) – sh(x)) = e^x × e^-x = 1

Essaye avec la 1ère méthode, tu verras que celle-ci est plus rapide

Des formules d’addition et de duplication semblables à celles du chapitre sur la trigonométrie existent également pour ch et sh :

cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) et cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) deviennent :

$ch(a + b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b)$

$ch(a - b) = ch(a)ch(b) - sh(a)sh(b)$

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) et sin(a – b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a) deviennent :

$sh(a + b) = sh(a)ch(b) + sh(b)ch(a)$

$sh(a - b) = sh(a)ch(b) - sh(b)ch(a)$

cos(2a) = cos²(a) – sin²(a) = 2cos²(a) – 1 = 1 – 2sin²(a) deviennent :

$ch(2a) = ch^2(a) + sh^2(a) = 2ch^2(a) - 1 = 1 + 2sh^2(a)$

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) devient :

$sh(2a) = 2sh(a)ch(a)$

Dans certains cas, il suffit de remplacer cos par ch et sin par sh, dans d’autres il faut en plus changer un signe, donc attention à ne pas tout mélanger !!

Par ailleurs, tu dois sûrement connaître la formule de Moivre avec cos et sin :

$(cos(x) + isin(x))^n = cos(nx) + isin(nx)$

Et bien il y a (évidemment !) une formule similaire avec ch et sh :

$(ch(x) + sh(x))^n = ch(nx) + sh(nx)$

Remarque : en remplaçant x par ix dans cette formule, on retrouve la formule de Moivre ci-dessus avec cos et sin…
Nous reparlerons de cette formule en détails dans les exercices.

Presque toutes ces formules se démontrent en remplaçant ch et sh par exponentielle comme vu précédemment donc nous les mettrons pas ici (ce serait beaucoup trop long^^).
En revanche, entraîne-toi à les faire, car il faut que tu saches les refaire pour retrouver les formules si jamais tu les as oubliées. Vu le nombre de formules, il y a peu de chances que tu retiennes tout sans faire d’erreur

Ainsi, il existe de grandes ressemblances entre cos et ch, et entre sin et sh, d’où l’appellation cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique.
Mais pourquoi hyperbolique ??

Sans rentrer dans les détails, il faut savoir que l’équation x² – y² = 1 correspond à une hyperbole.
Or en paramétrant cette hyperbole avec x = ch(t) et y = sh(t) (t étant le paramètre), on obtient ch²(t) – sh²(t) = 1 (formule vue précédemment).
Ainsi le point de coordonnées (ch(t) ; sh(t)) appartient à l’hyperbole, d’où l’appellation d’hyperbolique.

Mais comme x² + y² = 1, on peut faire la même chose non ??
Tout à fait ! En paramétrant avec x = cos(t) et y = sin(t), on obtient alors cos²(t) + sin²(t) = 1.
Or x² + y² = 1 étant l’équation d’un cercle, cos et sin sont appelées fonctions… circulaires !

Tout cela mériterait un peu plus d’explications mais cela a peu d’intérêt pour la compréhension du chapitre donc ne te casse pas trop la tête avec ça .

La fonction th

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Avec les fonctions cos et sin, on a la fonction tangente définie par : tan(x) = sin(x)/cos(x)

Tu ne seras pas étonné qu’il y ait une fonction tangente hyperbolique, notée th, et définie par :

$\forall x \in \mathbb{R} : th(x) = \frac{sh(x)}{ch(x)}$

Cette fonction est définie sur $\mathbb{R}$ , puisque sh et ch le sont, et que la fonction ch (au dénominateur) ne s’annule pas.

Si on remplace sh et ch par leurs expressions avec exp, et en simplifiant, on trouve :

$th(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

La courbe de th est la suivante :

courbe de la fonction tangente hyperbolique

Cette courbe ressemble très fortement à la courbe de la fonction arctan, sauf que arctan a pour asymptote π/2 et -π/2, alors que celle de th a pour asymptote 1 et -1.
Remarque : on pourrait s’attendre à ce que la courbe de th ressemble à celle de tan et non arctan mais ce n’est pas le cas…

Grâce à la courbe, on peut en déduite plusieurs propriétés (que l’on pourrait démontrer avec l’expression de th) :

$\lim_{x \to +\infty}th(x) = 1$

$\lim_{x \to -\infty}th(x) = -1$

D’où les asymptotes d’équation y = 1 et y = -1 en +∞ et -∞.

On voit également que th est une fonction impaire :

$th(-x) = -th(x)$

La démonstration est simple :

$th(-x) =\frac{sh(-x)}{ch(-x)}$

$th(-x) =\frac{-sh(x)}{ch(x)}$
car sh est impaire et ch est paire

$th(-x) = - th(x)$

Démonstration express en 3 lignes

Le DL en 0 de th se déduit de celui de sh et ch :

$th(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + ...$

Ce n’est pas vraiment à apprendre par cœur mais tu peux t’entraîner en exercice à retrouver cette formule

Concernant la dérivée de th, le mieux est de la calculer à partir de l’expression de base :

$th(x) = \frac{sh(x)}{ch(x)}$

Comme ch'(x) = sh(x) et sh'(x) = ch(x), on a :

$th'(x) = \frac{ch^2(x) - sh^2(x)}{ch^2(x)}$

Là on peut au choix :
– soit remplacer le numérateur par 1 (c’est une des formules vues précédemment) :

$th'(x) = \frac{1}{ch^2(x)}$

– soit séparer en 2 fractions, ce qui donne :

$th'(x) = 1 - th^2(x)$

Il y a donc 2 formules pour la dérivée de th, tout comme tan !
En effet, ces formules ressemblent fortement à la dérivée de la fonction tan, qui sont :

$tan'(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$

$tan'(x) = 1 + tan^2(x)$

Tout comme pour cos et sin, il existe des formules d’addition et de duplication : celles ce th sont évidemment similaires et celles de tan.
On a :

$tan(a + b) = \frac{tan(a) + tan(b)}{1 - tan(a)tan(b)}$

$tan(a - b) = \frac{tan(a) - tan(b)}{1 + tan(a)tan(b)}$

Pour th :

$th(a + b) = \frac{th(a) + th(b)}{1 + th(a)th(b)}$

$th(a - b) = \frac{th(a) - th(b)}{1 - th(a)th(b)}$

On a également :

$tan(2a) = \frac{2tan(a)}{1 - tan^2(a))}$

Et pour th :

$th(2a) = \frac{2th(a)}{1 + th^2(a)}$

Attention donc, les formules de tan et th sont semblables mais pas identiques, car certains + sont remplacés par des – et réciproquement (tout comme pour cos et sin avec ch et sh comme on l’a vu précédemment).

Attention également à ne pas confondre la fonction th avec la fonction coth.

La fonction coth

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En effet, de même que la fonction cotangente, notée cotan, est définie par cotan(x) = 1/tan(x), il existe une fonction cotangente hyperbolique, notée coth, définie par :

$coth(x) = \frac{1}{th(x)}$

Cette fonction n’est PAS définie sur $\mathbb{R}$ car th est nulle en 0 : th(0) = 0.
Ainsi coth est définie sur $\mathbb{R}$ \ {0}.

Nous ne l’étudierons pas en détails, il suffit de faire l’inverse de th étudiée ci-dessus

Voyons simplement la courbe de coth :

Courbe de la fonction coth cotangente hyperbolique

Cette courbe ressemble à cette de la fonction inverse (normal car c’est une hyperbole), mais avec pour asymptote y = 1 et y = -1, tandis que la fonction inverse admet y = 0 comme asymptote horizontale.
En revanche, la droite d’équation x = 0 est asymptote pour coth et pour la fonction inverse.

Ce qui est intéressant, c’est de superposer th et coth sur le même graphique :

Courbe des fonctions tangente et cotangente hyperbolique

Les deux courbes ont les mêmes asymptotes en +∞ et – ∞ : y = 1 et y = -1.

Passons maintenant aux fonctions réciproques de toutes les fonctions vues ci-dessus.

La fonction argch

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De même que les fonctions réciproques de cos, sin et tan sont notées arcsin, arccos, et arctan, les fonctions réciproques de ch, sh et th sont notées argch, argsh et argth (avec un g et non un t : arg et non arc, car arg signifie argument et arc signifie arc de cercle, mais on ne va pas trop rentrer dans les détails ce n’est pas le but ici ).

D’après la courbe de ch vu précédemment, on sait que ch réalise une bijection de [0 ; +∞[ dans [1 ; +∞[.
Donc argch est définie sur [1 ; +∞[, à valeurs dans [0 ; +∞[ (pour plus de détails, voir le cours sur les fonctions réciproques.

On a ainsi :

$\forall x \in [1;+\infty[, \forall y \in [0;+\infty[ : y = argch(x) \leftrightarrow x = ch(y)$

Autrement dit, argch(ch(x)) = x uniquement pour x ∈ [0 ; +∞[ et ch(argch(x)) = x uniquement pour x ∈ [1 ; +∞[.

La courbe de argch est la suivante :

Courbe de la fonction argch

La courbe de ch et la droite d’équation y = x ont été tracées car, si tu as bien lu le cours sur les fonctions réciproques, tu dois savoir que la courbe de argch est la symétrique de celle de ch par rapport à la droite d’équation y = x (mais uniquement sur la partie où elle est bijective, à savoir [0 ; +∞[).

Mais qu’elle est l’expression de argch(x) ??
La fonction argch est définie de la manière suivante :

$\forall x \in [1 ; + \infty[ : argch(x) = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$

Plusieurs méthodes pour démontrer cette expression, dont une que nous verrons en exercice.
Nous t’en proposons une plus simple et plus rapide :
Soit x ∈ [1 ; +∞[ et y ∈ [0 ; +∞[, posons y = argch(x) : le but est de trouver y en fonction de x.
D’après ce qui précède, on a x = ch(y).
Or ch²(y) – sh²(y) = 1
Donc sh²(y) = ch²(y) – 1
Soit sh²(y) = x² – 1
Comme y ∈ [0 ; +∞[, sh(y) ≥ 0, d’où :

$sh(y) = \sqrt{x^2 - 1}$

Utilisons maintenant la formule e^y = ch(y) + sh(y)
En remplaçant, on a :

$e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$

On passe au ln :

$y = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$

Et comme y = argch(x) :

$argch(x) = ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$

Démonstration terminée

Il est important de retenir ce genre de démonstration car retenir cette expression n’est pas évident, d’autant plus que l’expression de argsh sera quasi-identique, et il est donc très facile de se tromper…

Pour terminer, parlons de la dérivée de argch.
Pour cela 2 possibilités : on peut dériver l’expression que l’on vient de trouver : possible mais un peu long et beaucoup de possibilités de se tromper dans les calculs à cause des fonctions composées…
La meilleure solution est d’appliquer la formule vue dans le chapitre sur les fonctions réciproques !
On a vu dans ce chapitre que pour tout x appartenant à l’ensemble de définition de la fonction f^-1 :

$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

En appliquant cette formule avec f = ch et f^-1 = argch, on a, pour tout x ∈ [1 ; +∞[ :

$argch'(x) = \frac{1}{ch'(argch(x))}$

Or ch’ = sh, d’où :

$argch'(x) = \frac{1}{sh(argch(x))}$

Il s’agit maintenant de calculer sh(argch(x)) : pour cela il faut transformer sh en ch, car on sait que ch(argch(x)) = x puisque x ∈ [1 ; +∞[.
On a vu précédemment que :

$sh(y) = \sqrt{ch^2(y) - 1}$

D’où :

$sh(argch(x)) = \sqrt{ch^2(argch(x)) - 1}$

$sh(argch(x)) = \sqrt{x^2 - 1}$

On a ainsi :

$argch'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

Cela ressemble à la dérivée de arccos, mais encore une fois ce n’est pas exactement la même chose :

$arccos'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Voyons maintenant la réciproque de sh.

La fonction argsh

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La réciproque de sh est notée argsh.
Comme sh définit une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ , argsh également !
Argsh est donc définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Ainsi :

$\forall x,y \in \mathbb{R} : y = argsh(x) \leftrightarrow x = sh(y)$

Autrement dit, argsh(sh(x)) = x et sh(argsh(x) = x pour tout x ∈ $\mathbb{R}$ .

La courbe de argsh est la suivante :

Courbe de la fonction argsh

Comme on l’a vu pour argch, la courbe de argsh est la symétrique de celle de sh par rapport à la droite d’équation y = x.

Mais qu’elle est l’expression de argsh(x) ??
La fonction argsh est définie de la manière suivante :

$\forall x \in \mathbb{R} : argsh(x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

Plusieurs méthodes pour démontrer cette expression, dont une que nous verrons en exercice.
Nous t’en proposons une plus simple et plus rapide :
Soit x et y ∈ $\mathbb{R}$ , posons y = argsh(x) : le but est de trouver y en fonction de x.
D’après ce qui précède, on a x = sh(y).
Or ch²(y) – sh²(y) = 1
Donc ch²(y) = sh²(y) + 1
Soit ch²(y) = x² + 1
Or on sait que ch(y) ≥ 0, d’où :

$ch(y) = \sqrt{x^2 + 1}$

Utilisons maintenant la formule e^y = ch(y) + sh(y)
En remplaçant, on a :

$e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$

On passe au ln :

$y = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

Et comme y = argsh(x) :

$argsh(x) = ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

Il s’agit quasiment de la même démonstration que précédemment pour argch, et le résultat est presque le même !!

Il est important de retenir ce genre de démonstration car retenir cette expression n’est pas évident, d’autant plus que l’expression de argch est quasi-identique (un + dans la racine à la place du -), et il est donc très facile de se tromper…

Pour terminer, parlons de la dérivée de argsh.
Pour cela 2 possibilités : on peut dériver l’expression que l’on vient de trouver : possible mais un peu long et beaucoup de possibilités de se tromper dans les calculs à cause des fonctions composées…
La meilleure solution est d’appliquer la formule comme on l’a fait pour argch :

$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

En appliquant cette formule avec f = sh et f^-1 = argsh, on a, pour tout x ∈ $\mathbb{R}$ :

$argsh'(x) = \frac{1}{sh'(argsh(x))}$

Or sh’ = ch, d’où :

$argch'(x) = \frac{1}{ch(argsh(x))}$

Il s’agit maintenant de calculer ch(argsh(x)) : pour cela il faut transformer ch en sh, car on sait que sh(argsh(x)) = x.

On a vu précédemment que :

$ch(y) = \sqrt{sh^2(y) + 1}$

D’où :

$ch(argsh(x)) = \sqrt{sh^2(argsh(x)) + 1}$

$ch(argsh(x)) = \sqrt{x^2 + 1}$

On a ainsi :

$argsh'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

On retrouve la même expression que pour la dérivée de argch mais avec un + à la place du – (donc attention à ne pas confondre !!).

Cela ressemble également à la dérivée de arcsin, mais encore une fois ce n’est pas exactement la même chose :

$arcsin'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Terminons enfin avec argth.

La fonction argth

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La fonction argth est la réciproque de th.

th étant une bijection de $\mathbb{R}$ dans ]-1 ; 1[, argth est définie sur ]-1 ; 1[ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ .

Ainsi :

$\forall x \in ]-1;1[, \forall y \in \mathbb{R} : y = argsh(x) \leftrightarrow x = sh(y)$

Autrement dit, argth(th(x)) = x pour tout x ∈ $\mathbb{R}$ et th(argth(x)) = x pour tout x ∈ ]-1 ; 1[.

La courbe de argth est la suivante :

Courbe de la fonction argth

—
On remarque que ce graphique ressemble fortement à celui des fonctions tan et arctan, sauf que th ressemble à arctan et argth ressemble à tan, il y a donc un gros piège…
—

La courbe de argth est la symétrique de celle de th par rapport à la droite d’équation y = x.
Les droites d’équation y = 1 et y = -1 étant asymptotes à la courbe de th, on a par symétrie : les droites d’équation x = 1 et x = -1 sont asymptotes à la courbe de argth.

Mais qu’elle est l’expression de argth(x) ??
La fonction argth est définie de la manière suivante :

$\forall x \in ]-1 ; 1[ : argth(x) = \frac{1}{2}ln(\frac{1 + x}{1 - x})$

Démonstration :
Soit x ∈ ]-1;1 [et y ∈ $\mathbb{R}$ , posons y = argth(x) : le but est de trouver y en fonction de x.
D’après ce qui précède, on a x = th(y).
Or on a vu que :

$th(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$

Em multipliant par e^y au numérateur et au dénominateur, et en remplaçant th(y) par x :

$x = \frac{e^{2y} - 1}{e^{2y} + 1}$

En isolant e^2y, on trouve :

$e^{2y} = \frac{1 + x}{1 - x}$

En passant au ln et en divisant par 2, on obtient :

$y = \frac{1}{2} ln(\frac{1 + x}{1 - x})$

$argth(x) = \frac{1}{2} ln(\frac{1 + x}{1 - x})$

Et voilà !

Pour terminer, parlons de la dérivée de argth.
Pour cela 2 possibilités : on peut dériver l’expression que l’on vient de trouver, mais auparavant il faut la développer en utilisant les propriété de ln (sinon c’est assez compliqué)
On peut aussi appliquer la formule comme on l’a fait pour argch et argsh, voyons d’abord cette possibilité avant de voir l’autre :

$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

En appliquant cette formule avec f = th et f^-1 = argth, on a, pour tout x ∈ ]-1 ; 1[ :

$argth'(x) = \frac{1}{th'(argth(x))}$

Or th’ = 1 – th², d’où :

$argth'(x) = \frac{1}{1 - th^2(argth(x))}$

$argth'(x) = \frac{1}{1 - x^2}$

Cela ressemble également à la dérivée de arctan, mais encore une fois ce n’est pas exactement la même chose :

$arctan'(x) = \frac{1}{1 + x^2}}$

Voyons maintenant la 2ème possibilité :

$argth(x) = \frac{1}{2} ln(\frac{1 + x}{1 - x})$

On sépare en appliquant la formule du ln :

$argth(x) = \frac{1}{2}(ln(1 + x) - ln(1 - x))$

Et maintenant on dérive :

$argth'(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{1 + x} - \frac{-1}{1 - x})$

En regroupant les 2 fractions, on obtient :

$argth'(x) = \frac{1}{1 - x^2}$

Evidemment on retrouve la même expression que précédemment, mais contrairement à argch et argsh, dériver directement l’expression de la fonction est plus rapide que d’appliquer la formule.

Maintenant que tu sais tout sur les fonctions hyperboliques, il est temps de passer aux exercices !

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Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les fonctions vues ci-dessus !

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Méthode Maths

Etude des fonctions hyperboliques (ch, sh, th et leurs réciproques)

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