Fonctions affines et linéaires

Sommaire

Introduction
Fonctions linéaires
Le coefficient directeur
Fonctions affines
Ordonnée à l’origine
Droites parallèles et coefficient directeur
Récapitulatif
Exercices

Introduction
Les fonctions affines et linéaires sont les fonctions les plus basiques que tu pourras rencontrer. Et tu en rencontreras tout au long de tes études, y compris en Terminale et même après !
En effet, les fonctions linéaires représentent des situations de proportionnalité (ce qui arrive souvent), tandis que les fonctions affines correspondent à des asymptotes et des tangentes notamment (tu verras cela au lycée )
Nous allons voir qu’une fonction linéaire est un cas particulier d’une fonction affine… Nous commencerons donc par voir ce cas particulier (qui est plus simple), avant de passer aux fonctions affines.

Fonctions linéaires

Comme dit précédemment, une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité.
Imaginons que l’on achète des pommes, qui valent chacune 3 euros (oui ce sont des pommes de luxe^^).
2 pommes valent 6 euros, 3 pommes valent 9 euros, 4 pommes 12 euros etc…
Nous sommes bien dans une situation de proportionnalité.
Si l’on note x le nombre de pommes que l’on achète, le prix sera de 3x (on multiplie le nombre de pommes par le prix d’une pomme).
Si l’on note f la fonction qui détermine le prix, on a donc f(x) = 3x : ceci est une fonction linéaire!

Le 3, qui est le coefficient du x, est appelé coefficient directeur.
Tu dois donc retenir la chose suivante :

Exemples de fonctions linéaires : f(x) = 5x, g(x) = -2x, h(x) = 7,8x


Remarque : tu verras souvent noté y = ax au lieu de f(x) = ax.
C’est en fait la même chose, puisque y et f(x) représentent la même chose comme on l’a vu dans le chapitre sur les fonctions.

Avant de parler plus en détails du coefficient directeur, voyons à quoi cela ressemble si l’on trace cette fonction.
C’est très simple, puisqu’une fonction linéaire correspond à une droite passant par l’origine.

Cette droite sera croissante si a est positif, et décroissante si a est négatif.

Comme tu le vois, la droite sera croissante ou décroissante suivant le signe de a.
Par exemple : f(x) = 4x sera croissante (cas de gauche), mais f(x) = -7x sera décroissante (cas de droite).

Le coefficient directeur

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Pour déterminer une fonction linéaire, il faut donc uniquement connaître le coefficient directeur souvent noté a.
Soit le a est donné dans l’énoncé, soit il faut le calculer.
Mais comment calculer a ?

En fait, pour déterminer une droite, deux points suffisent. En effet, si tu as deux points, par exemple A et B, il suffit de tracer la droite passant par les deux points.
Il y a alors une formule pour calculer le coefficient directeur de cette droite : si on a A(xA ; yA) et B(xB ; yB), le coefficient directeur de cette droite est :


ATTENTION !!!! Ce sont les Y au numérateur et les X au dénominateur et pas l’inverse !!!!
Très souvent les élèves font l’erreur et mettent les X en haut et les Y en bas, tout simplement parce qu’ils ont l’habitude, pour les coordonnées, de mettre d’abord X et ensuite Y. Ne fais donc pas cette erreur classique


En revanche, il n’y a pas d’ordre pour A et B, c’est-à-dire que l’on peut mettre d’abord A et ensuite B ou l’inverse :

ou bien

PAR CONTRE, il faut absolument garder le même ordre au numérateur et au dénominateur!!! Donc si tu commences par A pour les Y tu commenceras par A pour les X, et réciproquement.

Evidemment cette formule est vraie pour une droite (AB), si en revanche on a la droite (EF) il faut adapter la formule :

ou bien

Bon c’est bien joli tout ça mais comment trouver les points de la droite ??
Et bien tout d’abord, on sait qu’une droite linéaire passe par l’origine du repère, c’est-à-dire le point O, de coordonnées (0 ; 0).
Il suffit donc de connaître un deuxième point, qui sera soit donné dans l’énoncé, soit à trouver graphiquement.
Voyons un exemple avec chacune de ces deux possibilités.

1er exemple : trouver l’équation de la droite linéaire passant par P(3 ; 5).
On sait que la droite passe par O(0 ; 0) car elle est linéaire, donc son coefficient directeur est :

Donc l’équation de la droite (OP) est


Remarque : on a décidé de mettre d’abord le P et ensuite le O pour ne pas avoir de chiffres négatifs. En effet cela aurait donné :




Cela revient évidemment au même mais il y a une étape supplémentaire à la fin…

2ème exemple : on donne le graphique suivant représentant une fonction linéaire. Déterminer l’équation de cette droite :

On voit que la droite passe par le point A(4 ; 5).
Comme la fonction est linéaire, la droite passe par l’origine, c’est-à-dire O(0 ; 0).
D’où :

Donc l’équation de la droite est

Comme tu le vois par de difficulté particulière !

Une autre méthode pour trouver le coefficient directeur est de le faire graphiquement, sans calcul.
Pour t’expliquer cela une petite vidéo vaudra mieux qu’un long discours

(Vidéo bientôt disponible !)


Remarque : pour les droites croissantes, plus le a est grand plus la droite est pentue, c’est-à-dire verticale :

La droite de gauche est moins pentue que l’autre, donc le a de gauche est plus petit que celui de droite.
Par exemple à gauche a = 2 et à droite a = 5.
Pour les droites décroissantes, plus le a est petit plus la droite est pentue :

La droite de gauche est moins pentue que l’autre, donc le a de gauche est plus grand que celui de droite.
Par exemple à gauche a = -3 et à droite a = -9.


ATTENTION !! Tu ne peux faire cette méthode graphique que si cela est demandé dans l’exercice !
Cela est vrai de manière général pour n’importe quel exercice, si on te demande « résoudre graphiquement » ou « trouver graphiquement » : pas de problème. Si ce n’est pas marqué il faudra le faire par le calcul…

Pour conclure sur les fonctions linéaires, sache que cela représente généralement une situation de proportionnalité.
Nous verrons cela dans les exercices.

Fonctions affines

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Une fonction affine ressemble fortement à une fonction linéaire puisque c’est une droite, mais elle ne passe pas par l’origine !

L’expression d’une telle fonction est f(x) = ax + b, a est le coefficient directeur, et b est l’ordonnée à l’origine :

Le b, l’ordonnée à l’origine, est en fait la valeur où la droite coupe l’axe des ordonnées :
De plus, comme que pour les fonctions linéaires, si a > 0 la droite est croissante, et décroissante si a < 0 :

Comme tu le vois la droite ne passe pas par l’origine mais coupe l’axe des ordonnées en b.


ATTENTION !! Le b est la valeur où la droite coupe l’axe des ORDONNÉES, pas des abscisses…

Pour déterminer l’équation d’une droite affine, il faut trouver le a et le b.
Le a se calcule exactement de la même manière que pour les fonctions linéaires, comme vu ci-dessus, graphiquement ou avec la formule.
Pour le b, cela peut aussi se faire graphiquement ou par le calcul. Nous allons donc voir comment faire !

L’ordonnée à l’origine

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Si on te demande de trouver graphiquement l’ordonnée à l’origine c’est très simple, puisqu’il suffit de regarder où le droite coupe l’axe des ordonnées :

Dans le graphique de gauche, b = 3, dans celui de droite b = 2.


Attention, même remarque que celle vue plus haut : tu ne peux faire cette méthode graphique que si cela est dit dans l’énoncé !

Pour trouver b par le calcul, cela va se faire en 3 étapes :
1ère étape : trouver deux points de la droite. Soit tu les trouves graphiquement soit on te les donne dans l’énoncé.
2ème étape : calculer le coefficient directeur a avec la formule.
3ème étape : calculer b avec la méthode que l’on va voir tout de suite !

Nous allons faire deux exemples : le premier où l’on te donne deux points de la droite, le deuxième où on te donne le graphique et tu dois trouver toi-même les deux points.

1er exemple : trouver l’équation de la droite (HG), avec H(-5 ; 12) et G(-3 ; 8)
Comme on a les 2 points (1ère étape), on peut calculer a (2ème étape) :

Maintenant la 3ème étape :
L’équation de la droite est donc y = -2x + b.
Or H appartient à la droite (HG), donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
yH = -2xH + b
12 = -2 × (-5) + b
12 = 10 + b
b = 2

Donc l’équation de la droite est y = -2x + 2.

Apprends bien cette 3ème étape par cœur !!

Evidemment on a pris le point H pour calculer b mais on aurait très bien pu prendre le point G. La 3ème étape aurait été :
L’équation de la droite est donc y = -2x + b.
Or G appartient à la droite (HG), donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :
yG = -2xG + b
8 = -2 × (-3) + b
8 = 6 + b
b = 2
Donc l’équation de la droite est y = -2x + 2.

On trouve évidemment la même chose (heureusement !).
On peut bien sûr vérifier que le résultat est cohérent en plaçant les points H et G sur un graphique et en traçant la droite :

On voit que la droite est décroissante, donc le coefficient directeur devrait être négatif, ce qui est bien le cas puisque a = -2 < 0.
De plus, la droite coupe l’axe des ordonnées en 2, donc b devrait être égal à 2, ce qui est bien le cas là aussi !

2ème exemple : cela va être exactement la même chose sauf qu’au début on ne donne pas les points de la droite mais un graphique, et on doit trouver nous-même les points.
Il faut ainsi trouver l’équation de cette droite :

Grâce au quadrillage, on choisit deux points qui tombent pile sur des intersections du quadrillage (afin que les coordonnées soient faciles), ici on a décidé de les appeler R et S (mais tu peux choisir d’autres lettres !)

Graphiquement, on voit que les coordonnées des points sont R(-4 ; -5) et S(5 ; 9) : il s’agit de la première étape.
On cherche donc l’équation de la droite (RS).

2ème étape :

3ème étape :
L’équation de la droite est donc .
Or R appartient à la droite (RS), donc ses coordonnées vérifient l’équation de la droite :



L’équation de la droite est donc

Comme précédemment on peut vérifier : a est positif et la droite est bien croissante.
De plus, b = 11/9 qui est légèrement plus grand que 1, or la droite coupe l’axe des ordonnées un peu au-dessus de 1 : c’est cohérent !

Tu sais désormais comment calculer b

Droites parallèles et coefficient directeur

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Nous allons maintenant parler de quelque chose qui se retrouve souvent dans les exercices :


Si deux droites sont parallèles alors elles ont le même coefficient directeur.
Réciproquement, si deux droites ont le même coefficient directeur, elles sont parallèles.

Ainsi, les droites d’équation y = 3x + 2 et y = 3x – 5 sont parallèles.
De même, y = -7x + 2 et y = -7x + 6 sont parallèles.

Tu vois que cela est uniquement lié au coefficient directeur et pas du tout à l’ordonnée à l’origine !
En fait, quand deux droites sont parallèles (donc même coefficient directeur), c’est le b qui va dire si la droite est plus ou moins « haute ».
Par exemple y = 3x + 5 est au-dessus de y = 3x + 2 car 5 > 2.
y = -4x + 3 est au-dessus de y = -4x – 1 car 3 > -1 :

Donc si on te demande si deux droites sont parallèles, il suffit de calculer leur coefficient directeur ! Tu n’auras donc pas à calculer l’ordonnée à l’origine.

Voyons maintenant un exemple très classique utilisant la propriété vu plus haut.
L’énoncé est le suivant : on a 3 points A(2 ; 5), B(6 ; -7) et C(-4 ; 2) : donner l’équation de la droite parallèle à (AC) passant par B.
Correction : comme la droite que l’on cherche est parallèle à (AC), elle a le même coefficient directeur que (AC). Ainsi :

Donc l’équation de la droite que l’on cherche est y = 0,5x + b
Par ailleurs, cette droite passe par B, donc :



La droite que l’on cherche a donc pour équation y = 0,5x – 10

La particularité de cet exemple est que l’on n’a pas 2 points de la droite que l’on cherche mais 1 seul (ici B). On ne peut donc pas a priori calculer le coefficient directeur.
En revanche, on sait que cette droite est parallèle a une autre, et qu’elle a donc le même coefficient directeur, et que l’on peut calculer puisque l’on a bien 2 points de cette droite parallèle (ici A et C).

Maintenant que l’on a vu tout ce que tu dois savoir, faisons un petit récapitulatif.

Récapitulatif

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Tout d’abord une fonction linéaire a pour équation y = ax alors qu’une affine est y = ax + b.
Une fonction linéaire est donc un cas particulier d’une affine, en prenant b = 0. Graphiquement, la droite linéaire passe par l’origine contrairement à l’affine.
Ce qui suit est donc valable pour les deux types de fonctions.

Pour déterminer l’équation d’une fonction affine ou linéaire, il faut trouver le a (coefficient directeur) et le b (ordonnée à l’origine), sachant que le b vaut 0 pour une linéaire.

Cela peut se faire graphiquement, ou alors par le calcul, en calculant d’abord le coefficient directeur avec la formule, puis b avec la méthode vu ci-dessus.
Pour calculer le a, il suffit de deux points de la droite.
Cependant ce n’est pas toujours le cas comme on l’a vu dans l’exemple ci-dessus, mais tu peux alors utiliser une propriété importante, qui est que deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

Avec tout ça les droites affines et linéaires ne devraient plus avoir de secret pour toi

Exercices

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Les exercices seront bientôt disponibles !

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