Les fonctions : principes de base

Sommaire

Introduction
Principe général
Représentation graphique
Images et antécédents : calculs
Résolution graphique
Exercices

Introduction

Nous allons voir dans ce chapitre les principes généraux sur les fonctions : qu’est-ce-que c’est, à quoi ça sert, quels calculs va-t-on demander avec les fonctions etc…
Une fois que tu auras vu ce chapitre tu pourras passer à l’étude de fonctions particulières comme les droites affines et linéaires et les polynômes du second degré qui ont leur propre chapitre.

Principe général

Une fonction est une application qui fait correspondre un nombre à un autre. Avec un petit exemple ce sera mieux

Prenons deux groupes de nombres : un groupe de départ et un groupe d’arrivée :

Une fonction fait correspondre chaque nombre de gauche à un nombre de droite, que l’on représenter par une flèche :

Le f au-dessus des flèches signifie que la fonction s’appelle f, mais on aurait très bien pu l’appeler par une autre lettre (les fonctions s’appellent généralement par des lettres, on prend souvent f).

On voit que CHAQUE nombre de l’ensemble de départ est associé à un nombre de l’ensemble d’arrivée.
Certains éléments de l’ensemble d’arrivée PEUVENT n’être associés à aucun élément de l’ensemble de départ. Dans l’exemple, -4 n’est relié à aucun élément.
De plus, tout élément de gauche est associé à un UNIQUE élément de droite, mais un élément de droite peut être associé à un ou plusieurs nombre de gauche (ou aucun). Dans l’exemple, 7 et 10 sont tous les deux associés à 12.

On peut représenter cette correspondance selon un tableau :

Nombre de l’ensemble de départ – 1 3 7 10
Nombre associé dans l’ensemble d’arrivée – 2 7 12 12

Au niveau de la notation, cela peut s’écrire de la manière suivante :
f(-1) = -2
f(3) = 7
f(7) = 12
f(10) = 12

Cela se lit « f de -1 égal -2, f de 3 égal 7, f de 7 égal 12 et f de 10 égal 12). »

Ce qui est dans la parenthèse après le f est appelé « antécédent » et ce qui est à droite du égal est appelé « image ».
Pour f(-1) = -2, -1 est l’antécédent et -2 est l’image.
Donc l’ensemble de départ représente les antécédents, tandis que l’ensemble d’arrivée représente les images.

Généralement, les ensembles de départ et d’arrivée seront des segments comme [1; 3] par exemple (donc une infinité de nombres), et la fonction aura une expression générale mathématique.
Imaginons que l’ensemble de départ soit [1 ; 3], et que f associe à chacun des nombres de cet intervalle son double. C’est-à-dire que :
f(1) = 2
f(1,3) = 2,6
f(2) = 4
f(2,15) = 4,3
f(3) = 6 etc…

On peut donc écrire f(x) = 2x : c’est l’expression générale de la fonction !
Mais quel est ce x ? C’est tout simplement une variable, comme dans une équation, et qui peut prendre n’importe quelle valeur de l’ensemble de départ, qui ici est [1 ; 3]. Donc x peut valoir n’importe quel nombre entre 1 et 3 :
x est en fait l’antécédent, et f(x) représente l’image !

Par exemple, si x = 2,5 :
f(2,5) = 2 × 2,5
f(2,5) = 5.
Comme tu le vois on a remplacé le x par 2,5 dans l’égalité.
Ici 2,5 est l’antécédent et 5 est l’image : on dit que 5 est l’image de 2,5 ou que 2,5 est l’antécédent de 5 (on en reparlera plus tard).

Ici on a pris un exemple de fonction très simple, mais on peut avoir des fonctions plus compliquées comme :
f(x) = 3x + 5
g(x) = 8x2 – 4x + 7
h(x) = (6x + 2)(3x – 7)
p(x) = -3/x
Etc…

Prenons un exemple classique :
choisis un nombre (par exemple 7)
multiplie ce nombre par 2 (on obtient 2 × 7 = 14)
ajoute 5 à ce nombre (on obtient 14 + 5 = 19)
multiplie le tout par 6 (on obtient 6 × 19 = 114)

Faisons la même chose mais de manière générale, c’est-à-dire que l’on va noter le nombre de départ x :
choisis un nombre (on le note x)
multiplie ce nombre par 2 (on obtient 2x)
ajoute 5 à ce nombre (on obtient 2x + 5)
multiplie le tout par 6 (on obtient 6(2x + 5) )
Ce 6(2x + 5) représente une fonction que l’on peut noter g : g(x) = 6(2x + 5)
A partir de là on va pouvoir te poser des questions sur la fonction.

Dernière chose avant de passer à la suite : on a vu qu’une fonction se notait f(x) = …
Il existe une autre notation identique qui est f : x ↦ …
Par exemple, f(x) = 8x + 4 peut se noter f : x ↦ 8x + 4.
g(x) = 8x2 – 4x + 7 peut se noter g : x ↦ 8x2 – 4x + 7


ATTENTION !! Tu as peut-être remarqué que la flèche n’est pas dessinée n’importe comment, il y a un petit trait vertical à gauche de la flèche : ↦
Ainsi il ne faut pas écrire → mais ↦

Alors oui en effet cette notation est plus compliquée, mais elle a l’avantage de ne pas nécessiter de nom pour la fonction.
En effet, pour f(x) = 8x + 4 il faut que la fonction s’appelle f.
Mais on peut très bien dire « la fonction x ↦ 8x + 4 », et là pas besoin de nom !

Tout dépendra des exercices mais la notation avec la flèche se voit plus au lycée et après le bac, pas vraiment au collège.

Chaque fonction a des particularités que l’on peut étudier, et notamment sa courbe représentative.
En effet, chaque fonction peut se tracer dans un repère :

On a mis Cf sur le graphique pour montrer que la courbe est celle de la fonction f et non d’une autre fonction.
Par contre il faut faire attention au vocabulaire : le tracé de la courbe ne correspond pas à f mais à la courbe représentative de la fonction f.

Mais comment tracer cette courbe ?
C’est ce que nous allons voir tout de suite.

Représentation graphique

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Déjà il faut savoir que l’axe des abscisses (horizontal) représente les antécédents, donc les x, tandis que l’axe vertical représente les images, donc f(x).
L’axe vertical représentant également y, on a y = f(x).

Ainsi, si on a f(4) = 9 par exemple, on a le 4 en abscisse (x = 4) et le 9 en ordonnée (y = 9). La courbe passe donc par le point (4 ; 9) que l’on peut noter A par exemple.


Retiens bien : si f(a) = b, la courbe passe par le point (a ; b).

Reprenons alors notre exemple f(x) = 2x.
f(1) = 2 : la courbe passe donc par le point (1 ; 2)
f(2) = 4 : la courbe passe donc par le point (2 ; 4)
f(3) = 6 : la courbe passe donc par le point (3 ; 6)
f(-1) = -2 : la courbe passe donc par le point (-1 ; -2)
f(-2) = -4 : la courbe passe donc par le point (-2 ; -4)
f(0) = 0 : la courbe passe donc par le point (0 ; 0)
etc… on obtient ainsi une infinité de points que l’on peut relier :

Ici on obtient une droite, c’est un cas particulier car f(x) = 2x est une fonction linéaire (voir le chapitre sur les fonctions linéaires).
Mais dans le cas général on obtient plusieurs points que l’on va relier par une courbe. Evidemment plus on a de points mieux c’est, car le tracé de la courbe sera plus précis.

En effet, imaginons que l’on veuille tracer la fonction f(x) = x2 – 3.
f(0) = 02 – 3 = -3 ==> (0 ; -3)
f(1) = 12 – 3 = -2 ==> (1 ; -2)
f(-2) = (-2)2 – 3 = 1 ==> (-2 ; 1)
Si l’on ne place que ces 3 points on obtient :

Cela n’est clairement pas suffisant car de nombreuses fonctions peuvent passer par ces trois points :

Mais si l’on rajoute quelques points :
f(-1) = (-1)2 – 3 = -2 ==> (-1 ; -2)
f(2) = 22 – 3 = 1 ==> (2 ; 1)
f(-3) = (-3)2 – 3 = 6 ==> (-3 ; 6)
f(3) = 32 – 3 = 6 ==> (3 ; 6)

Le tracé de la courbe est déjà beaucoup plus précis
Evidemment plus il y aura de points plus ce sera précis mais cela prendra plus de temps.


Images et antécédents : calculs

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Comme nous l’avons évoqué précédemment, x correspond à l’antécédent et f(x) correspond à l’image.
Ainsi, si f(5) = -3, on peut dire que 5 est l’antécédent de -3, et que -3 est l’image de 5.

En réalité il y a une petite subtilité : reprenons notre exemple du début :

D’après le même principe, -2 est l’image de -1, 7 est l’image de 3 etc… et -1 est l’antécédent de -2, 3 est l’antécédent de 7…
Cependant, 7 et 10 sont tous les deux des antécédents de 12. Donc une image peut avoir plusieurs antécédents : désormais, on ne dira plus qu’un nombre est l’antécédent d’un autre mais UN des antécédents.


Ainsi on dira 7 est un antécédent de 12, et 10 est un antécédent de 12.
Sauf si l’on sait qu’il n’y a qu’un seul antécédent auquel cas on pourra dire que 4 est l’antécédent de 15 par exemple.

Très souvent, à partir d’une fonction on te demandera de calculer l’image d’un nombre, ainsi que le ou les antécédents d’un nombre.
Exemple : f(x) = 8x + 5
Calculer l’image de 2 : c’est le plus simple, il suffit de remplacer x par 2 :
f(2) = 8 × 2 + 5 = 16 + 5 = 21 : l’image de 2 est 21.
Pour calculer l’image de -4 : f(-4) = 8 × (-4) + 5 = -32 + 5 = -27 : l’image de -4 est -27.

Comme tu le vois c’est simple

Pour trouver, les antécédents de 7 en revanche, il faut résoudre f(x) = 7 (on cherche le ou les x tels que f(x) = 7) :
f(x) = 7
8x + 5 = 7
8x = 2
x = 1/4
Donc 1/4 est l’antécédent de 7 (ici il n’y en a qu’un car l’équation n’a qu’une seule solution).

Autre exemple : trouver le ou les antécédents de -4.
f(x) = -4
8x + 5 = -4
8x = -9
x = -9/8
Donc -9/8 est l’antécédent de -4.

Mais il peut arriver qu’il y ait plusieurs antécédents, voire aucun :
g(x) = x2 – 5
Trouver l’image de 6 : g(6) = 62 – 5 + 31
Donc l’image de 6 est 31.

Trouver le ou les antécédents de 4 :
g(x) = 4
x2 – 5 = 4
x2 = 9
x = 3 ou x = -3 (attention !!!)
Donc 3 et -3 sont LES antécédents de 4 : 4 a ici deux antécédents !

Trouver le ou les antécédents de -8 :
g(x) = -8
x2 – 5 = -8
x2 = -13 : cette équation n’a pas de solution car un carré est toujours positif !!!
Donc -8 n’a pas d’antécédent.


Retiens donc ceci : un antécédent a toujours une image et elle est unique, mais une image peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédents.
Pour calculer l’image de a, on calcule f(a).
Pour calculer le ou les antécédents de a, on résout f(x) = a et on cherche x.

Résolution graphique

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Une autre manière de trouver l’image ou les antécédents d’un nombre est de le faire graphiquement.
Le problème de cette méthode est qu’elle n’est pas précise. Il faut donc l’utiliser UNIQUEMENT quand cela est explicitement demandé dans l’énoncé.
La question sera par exemple « trouver l’image de 4 par lecture graphique » ou « trouver graphiquement le ou les antécédents de 5 ».
A noter que l’on peut te demander de « trouver graphiquement f(6) », ce qui revient à calculer l’image de 6.


ATTENTION !! Quand on te demande de trouver l’image de 4, 4 est l’antécédent (donc à mettre sur l’axe des abscisses).
Et quand on te demande de trouver les antécédents 5, 5 est l’image (donc à mettre sur l’axe des ordonnées).

Le principe est assez simple : pour trouver l’image de 3 par exemple, on place 3 sur l’axe des abscisses (car 3 est l’antécédent), et on regarde à quel ordonnée cela correspond avec la courbe en traçant des droites (éventuellement en pointillés) :

On voit que l’image de 3 est 7.
Comme tu le vois c’est très simple

Pour trouver le ou les antécédents de 5 par exemple, on fait l’inverse : on place le 5 sur l’axe des ordonnées et on regarde à quels abscisses cela correspond. Attention il peut y avoir plusieurs solutions !!

Ici on trouve 3 solutions : -7, -2 et 1
Donc les antécédents de 5 sont -7, -2 et 1.
Pour être sûr de ne pas oublier une solution, pense bien à tracer la droite horizontale jusqu’au bout ! Si tu traces seulement une partie comme dans le graphique ci-dessous, tu risques d’oublier des solutions…

Ici la droite horizontale n’a pas été tracée jusqu’au bout et donc la solution -7 n’apparaît pas…

Autre cas : on demande de calculer les antécédents de 10. On place donc le 10 sur l’axe des ordonnées :

Et là on remarque qu’il n’y a pas de solution car la droite ne coupe pas la courbe de la fonction.
Donc 10 n’a pas d’antécédent par la fonction f.

De manière générale, on peut dire que le nombre d’antécédents correspond au nombre de fois où la droite horizontale coupe la courbe de la fonction.

Un autre problème de cette méthode est que l’on n’a qu’une partie de la courbe (ici le x est compris entre -7 et 6), mais on ne sait pas ce qui se passe avant et après.
Le souci est que les droites horizontales que l’on trace pour trouver les antécédents coupent peut-être la courbe en d’autres points, mais qui n’apparaissent pas sur le graphique ! Ce pourquoi il faut bien lire l’énoncé car il y a parfois des indications pour t’aider.

Maintenant que les fonctions n’ont plus de secret pour toi on va pouvoir passer aux exercices !

Exercices

Les exercices seront bientôt disponibles !

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