Factorisation – comment factoriser une expression

Sommaire

Introduction
Factoriser avec un facteur commun 1/2
Factoriser avec un facteur commun 2/2
Facteur commun avec une parenthèse
Facteur commun avec une puissance
Factoriser sans facteur commun
Factoriser avec plusieurs termes
Factoriser avec une identité remarquable
Exercices

Introduction
Nous allons voir dans ce chapitre comment factoriser une expression. Suivant l’expression que l’on veut factoriser il y a différentes méthodes que nous allons étudier une par une en détail. Les exercices disponibles à la fin du chapitre te permettront de mettre en application chacune des méthodes étudiées.

Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en un produit. Il faut donc à la base avoir au moins deux termes que l’on additionne ou soustrait.
Par exemple dans 8x + 5, les deux termes sont 8x et 5.
Dans 6(x+4)2 – 9, les deux termes sont 6(x+4)2 et 9.
Dans 5x2 + 2x – 7, les trois termes sont 5x2, 2x et 7.

Les exemples que nous donnerons seront essentiellement avec deux termes pour que cela soit plus simple.
Nous verrons bien sûr les cas où il y a plus de deux termes mais c’est aussi simple que quand il n’y en a que deux

La factorisation est utile dans plusieurs cas, notamment pour faire un tableau de signe ou résoudre des équations comme on le verra dans les exercices.

Factoriser avec un facteur commun 1/2

La plupart des factorisations se font avec un facteur commun. Mais qu’est-ce qu’un facteur commun ?

C’est tout simplement un nombre, une lettre ou une expression (avec des parenthèses) que l’on retrouve dans chacun des termes.

Par exemple dans 6x + 6y, le facteur commun est 6 puisqu’il y a 6 dans 6x et dans 6y.
Dans 9(x + 3) – (x + 5)(x + 3), le facteur commun est (x + 3).
Dans 7(x – 5)2 + 7(x – 5), le facteur commun est (x – 5).

Sachant cela, commençons par voir les cas les plus simples, à savoir quand le facteur commun est uniquement un nombre ou une lettre.
On met ce facteur commun au début, puis on ouvre une parenthèse et on réécrit l’expression de départ sans mettre le facteur commun :
6x + 6y = 6(x + y)
7x – 7y = 7(x – y)
9x + x√2 = x(9 + √2)
xy – 7y = y(x – 7)

Comme tu le vois, le facteur est mis devant, puis dans la parenthèse on réécrit l’expression de départ sans le facteur commun.

Pour vérifier, on peut prendre l’expression de droite et la développer, on devrait retrouver l’expression de gauche :
6(x + y) = 6 × x + 6 × y = 6x + 6y : c’est bon !

Voyons un cas particulier : quand le facteur commun est « tout seul » :
6x + 6 = 6(x + ???)
En effet, que reste-t-il si l’on factorise 6 par 6. Et bien il reste… 1 !
Donc 6x + 6 = 6(x + 1)

En effet, quand on factorise par un facteur commun, cela revient à diviser chaque terme par ce facteur commun.

Autre exemple :

Bien sûr cette technique est juste pour t’expliquer le pourquoi du comment, tu n’as pas à rédiger de la sorte et tu peux dire directement :
4x + 4y = 4(x + y).
Cependant nous verrons que cette méthode où on divise par le facteur commun est utile dans certains cas plus complexes, c’est d’ailleurs ce que nous allons voir tout de suite !

Ces premiers exercices devraient t’aider à t’entraîner !

Factoriser avec un facteur commun 2/2

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Il y a des cas où le facteur commun n’est pas évident, il faut le faire apparaître.
Par exemple dans 8x + 12y, on ne voit pas immédiatement le facteur commun, donc par quoi on va factoriser.
Le but est alors de réécrire l’expression d’une manière différente afin de faire apparaître le facteur commun.

Dans cet exemple : 8x + 12y = 4 × 2x + 4 × 3y :
on voit maintenant que le facteur commun est 4 !
8x + 12y = 4 × 2x + 4 × 3y
8x + 12y = 4(2x + 3y)

Mais comment trouver ce facteur commun ?
Il faut regarder dans chaque terme les nombres et regarder ce qui les divise, et on fait de même avec les lettres.
Les nombres sont 8 et 12. Il faut trouver leur PGCD, c’est-à-dire Plus Grand Diviseur Commun. Ici c’est assez simple de voir que c’est 4. (tu es invité à aller voir le cours sur le PGCD (bientôt disponible) pour plus de détails là-dessus )
En revanche les lettres sont x et y : il n’y a rien en commun.
Donc le facteur commun est 4.

Autre exemple :
9xy + 15x : les nombres sont 9 et 15 : leur PGCD est 3.
Les lettres sont xy et x : il y a x en commun.
Donc le facteur commun sera 3x :
9xy + 15x = 3x(3y + 5)

Dans les exemples que nous venons de voir, calculer le PGCD des deux nombres est assez simple, cela se fait de tête.
En revanche quand on a des exemples plus compliqués, on ne va pas commencer à calculer le PGCD, c’est souvent trop long. A la place, on peut tout simplement factoriser au fur et à mesure, en plusieurs étapes.
Pour cela il va falloir bien connaître les règles de divisibilité !!!!
Tu es grandement invité à aller revoir cela dans le chapitre sur le calcul mental où tout est expliqué en détails

Exemple : 462x + 294y.
Au niveau des lettres (x et y), il n’y a rien en commun.
Pour les nombres 462 et 294 il faudrait trouver le PGCD : on peut le faire avec l’algorithme d’Euclide mais c’est bien trop long et tu risques de faire des erreurs. Commençons alors par simple : on voit que l’on peut factoriser par 2 (car 462 et 294 sont pairs) :
462x + 294y = 2(231x + 147y) : il faut trouver par quoi sont divisibles 231 et 147 : par 3 !
462x + 294y = 2 × 3 (77x + 49y) : 77 et 49 sont divisibles par… 7 !
462x + 294y = 2 × 3 × 7 (11x + 7y)
Et là c’est fini car on ne peut plus factoriser 11x + 7y. Il reste alors à regrouper tous les facteurs :
462x + 294y = 42(11x + 7y)

Au passage, on a trouvé le PGCD de 462 et 294 qui est 42

Comme tu le vois on peut factoriser au fur et à mesure en trouvant un facteur commun à chaque fois, ce pourquoi il faut bien connaître les règles de divisibilité (surtout par 2, 3, 5, 9, 10, et 11).

La deuxième vidéo de cette page donne quelques exemples.

Facteur commun avec une parenthèse

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Il peut arriver que le facteur commun ne soit pas une lettre ou un nombre mais une expression dans une parenthèse.
Exemple : 7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) : le facteur commun est (x + 3).
Le principe est alors exactement le même :
7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) = (x + 3)[7 + (x + 5)]
7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) = (x + 3)[7 + x + 5]
7(x + 3) + (x + 5)(x + 3) = (x + 3)(x + 12)

Tu auras remarqué qu’à la première étape on a mis des crochets, tout simplement parce qu’il y a une parenthèse à (x+5), donc pour plus de clarté on a mis des crochets. Mais rien ne t’empêche de mettre des parenthèses à la place des crochets, ce sera juste un peu moins lisible pour le correcteur.
Par contre à la dernière ligne on a remis les parenthèses puisque les parenthèses à (x + 5) ont disparu à l’étape d’avant.

Attention au signe quand on enlève les parenthèses :
8(x + 6) – (x + 7)(x + 6) = (x + 6)[8 – (x + 7)]
8(x + 6) – (x + 7)(x + 6) = (x + 6)[8 – x – 7]
8(x + 6) – (x + 7)(x + 6) = (x + 6)(1 – x)
Comme tu le fois à la 2ème ligne il faut changer les signes de la parenthèse à cause du moins devant la parenthèse !

Dernier exemple :
(x – 4)(x + 8) – (x + 8)(2 – x) = (x + 8)[(x – 4) – (2 – x)]
(x – 4)(x + 8) – (x + 8)(2 – x) = (x + 8)[x – 4 – 2 + x]
(x – 4)(x + 8) – (x + 8)(2 – x) = (x + 8)(2x – 6)

Il arrive parfois que les expressions entre parenthèses soient à une certaine puissance. Nous allons donc voir comment factoriser ce genre d’expressions !

Pour bien comprendre, ces exercices devraient t’aider !

Facteur commun avec une puissance

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Le facteur commun (une lettre, un nombre ou une parenthèse) peut être à une certaine puissance :
2x2 + 3x : x est le facteur commun mais au carré dans le 1er terme
9x6 – 7x15 : x est le facteur commun mais puissance 6 dans le 1er terme et 15 dans le 2ème
8(x + 5)9 + (3 – x)(x + 5)7 : (x + 5) est le facteur commun mais puissance 9 dans le 1er terme et 7 dans le 2ème

Le principe est le suivant : on factorise par le terme avec la puissance la plus petite !
2x2 + 3x : on factorise par x
9x6 – 7x15 : on factorise par x6
8(x + 5)9 + (3 – x)(x + 5)7 : on factorise par (x + 5)7

Cela donne :
2x2 + 3x = x(2x + 3)
9x6 – 7x15 = x6(9 – 7x9)
8(x + 5)9 + (3 – x)(x + 5)7 = (x + 5)7[8(x + 5)2 + (3 – x)]

Tu auras remarqué que la plus grande puissance du facteur commun est diminuée de la puissance du facteur commun :
x15 devient x9 car on a factorisé par x6 et 15 – 6 = 9
(x + 5)9 devient (x + 5)2 car on a factorisé par (x + 5)7 et 9 – 7 = 2

En effet, si on écrit le détail en divisant par le facteur commun, on obtient :



————–



————–


On rappelle en effet que :

Donc :

Cela peut te sembler un peu compliqué mais avec les exercices tu comprendras encore mieux

Ces quelques exercices te serviront de base pour t’entraîner !

Factoriser sans facteur commun

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Depuis le début nous voyons comment factoriser une expression avec un facteur commun. Mais comment faire quand on n’a pas de facteur commun ?
Et bien on peut tout simplement factoriser par… ce que l’on veut ! Enfin presque…

En effet, on a vu que factoriser revenait à diviser chaque terme par le facteur commun. Or on peut diviser par tout… sauf 0 !

Ainsi l’expression 9x – 5y peut très bien se factoriser par 3 :

L’intérêt peut paraître ici un peu limité, surtout que l’on a désormais une fraction alors qu’au début il n’y en avait pas, mais tout dépend de l’énoncé.
En effet, il arrive que l’on ait à simplifier ce genre de fractions :

A priori on ne peut factoriser ni le numérateur ni le dénominateur. Mais en factorisant par x2, on obtient :

On obtient une nouvelle expression, qui là encore peut sembler avoir peu d’intérêt, mais dans certains cas cette deuxième expression peut être plus facile à utiliser.


ATTENTION cependant !! On se retrouve avec un x au dénominateur (dans 7/x2), il faut donc bien préciser que x ≠ 0 !!!
De même si on factorise par (x + 3) et donc que l’on divise par (x + 3), il faut préciser que
x ≠ – 3.

Fais ces quelques exemples pour voir si tu as bien compris !

Factoriser avec plusieurs termes

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Depuis le début on a vu comment factoriser quand on a 2 termes. Mais il peut arriver que l’on ait 3, 4 voire 5 termes !
Le principe est alors exactement le même, sauf qu’il faut trouver le facteur commun à chaque terme, ce qui peut être parfois compliqué.
Exemple : 6x – 18y + 3z : on pourrait se dire que le facteur commun est 6, à cause du 6x et du 18y, mais il n’y a pas 6 dans 3z.
Par contre il y a 3 dans chaque terme, on va donc factoriser par 3 :

On peut bien sûr factoriser par 6, mais cela va faire apparaître une fraction :

Dans les cas plus complexes on peut très bien factoriser au fur et à mesure :

Comme tu le vois on factorise au fur et à mesure en utilisant les règles de divisibilité simples, par 2, par 3, par 5 etc… jusqu’à ce qu’on ne puisse plus factoriser.

Avec ces quelques exemples tu devraisy voir plus clair si tu n’as pas compris !

Factoriser avec une identité remarquable

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La dernière possibilité pour factoriser une expression est d’utiliser une identité remarquable.
Pour cela, le plus simple est d’aller directement voir le chapitre sur les identités remarquables, ainsi que la page d’exercices sur les identités remarquables où tu trouveras tout ce que tu dois savoir !

Exercices

Tu trouveras sur cette page toutes les vidéos sur la factorisation !

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