Exercices sur les limites

Sommaire

Calcul de limites simples
Calcul de limites en un point
Le théorème du plus haut degré
Calcul d’asymptotes
Limites et taux d’accroissement
Règle de l’hôpital
Forme indéterminée avec des sinus
Limites et partie entière

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Calcul de limites simples

Nous allons calculer les limites suivantes :

\(\displaystyle \lim_{x \to 3}8x^2 – 2x + 4 \)

\(\displaystyle \lim_{t \to 5}\frac{3t + 2}{6t – 4} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3}(2x – 1)(8x – 4) \)

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}(3x – 4)(x – 7) \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty}(3x + 2)(-6x + 4) \)


Calcul de limites en un point

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Nous allons calculer les limites suivantes :

\(\displaystyle \lim_{x \to 7} \frac{1}{x-7} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-2}{-x + 3} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{-x + 4} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} \frac{-4}{x^4 – 7} \)




Le théorème du plus haut degré

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Nous allons calculer les limites suivantes avec le théorème du plus haut degré, excepté la 1ère que nous allons calculer en utilisant la méthode par factorisation vue dans le cours :

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\frac{5x^4 – 8x^2 + 3}{7x^3 – 5x + 4} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\frac{8x^4 – 6x + 7}{-5x^7 – 8x + 4} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty}\frac{6x^4 – 8x^2 + 7}{2x^2 – 3x^4 + 6x} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\frac{-3x^7 + 8x^3 + 5}{7x^3 – 8x + 12} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty}(3x^2 – 8x + 2)(-8x^3 – 2x + 7) \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3}\frac{9x^3 -2x + 4}{6x^4 + 8x -7} \)


Calcul d’asymptotes

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Nous allons calculer les 2 limites suivantes pour trouver des asymptotes :

\(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} \frac{8x^4 – 6x + 7}{5x^4 – 5x^3 – 2} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2x – 8}{x – 3} \)

Puis nous montrerons que la droite d’équation y = 2x + 4 est asymptote à la courbe de

\(\displaystyle \frac{6x^2 + 8x – 5}{3x – 2} \)

en +∞



Limites et taux d’accroissement

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Calculer les limites suivantes en utilisant le taux d’accroissement :

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{cos(x) – 1}{x} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x – 1} \)

Règle de l’hôpital

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Utiliser la règle de l’hôpital pour calculer les limites suivantes :

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^4 – 1}{x^2 – 3x + 2} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2sin(x) – sin(2x)}{x – sin(x)} \)

Forme indéterminée avec des sinus

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Calculer les limites suivantes :

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin(4x)}{x} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{sin(3x)}{sin(5x)} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{sin(2x – 8)}{x – 4} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x}{sin(7x)} \)

Limites et partie entières

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Calculer les limites suivantes (E(x) est la partie entière de x) :

\(\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{E(x)}{\sqrt{x}} \)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0^{+}} xE(x – \frac{1}{x}) \)

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