Exercices corrigés sur les séries entières

Sommaire

Rayon de convergence avec d’Alembert
Rayon de convergence et somme
DSE avec changement de varialble
DSE avec ln et second degré
Produit de Cauchy
Équa diff avec solution DSE

Rayon de convergence avec la règle de d’Alembert

Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes :

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{1} {\sqrt{n}} \, x^n \)

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{n!}{2^{2n} \sqrt{(2n)!}} \, x^n \)

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{n!}{(2n)!} \, x^n \)

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{\sqrt{n}}{2^n + 1} \, x^n \)

Rayon de convergence et somme

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Calculer le rayon de convergence et la somme de :

\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^k}{2k + 1} \)

DSE avec un changement de variable

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Donner le développement en séries entières au voisinage de 0 de :
ln(1 + 3x2)
ln(5 – x)
1/(7 + x3)

DSE avec la fonction ln

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Donner le développement en séries entières au voisinage de 0 de :
ln(x2 – 7x + 12)
ln(x2 + 11x + 30)

Produit de Cauchy et séries entières

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Calculer :

\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+ \infty} \, \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \, \, x^n \)

Équations différentielles et séries entières

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Trouves les solutions développables en séries entières de l’équation différentielle suivante :
x2 y” + 4xy’ + (2 – x2)y – 1 = 0

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