Exercices sur les relations d’équivalence et relations d’ordre

Montrer que c’est une relation d’équivalence

L’exercice consiste à montrer que les relations suivantes sont des relations d’équivalence :

$\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow cos^2 (x) + sin^2 (y) = 1$

$\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow xe^y = ye^x$

Classes d’équivalence

Dans la première vidéo, il faut montrer que la relation suivante est une relation d’équivalence, et trouver les classes d’équivalence :

$\forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2, \, xRy \Leftrightarrow x + y \, est \, pair$

Dans la deuxième vidéo, même énoncé avec la relation suivante :

$\forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2, \, xRy \Leftrightarrow x^2 - y^2 = x - y$

Idem pour la troisième vidéo, avec une relation un peu plus difficile :

$\forall (x;y) \, et \, (x';y') \in (\mathbb{Z} \times \mathbb{N})^2, \, (x;y)R(x';y') \Leftrightarrow xy' = x'y$

Deuxième question :

$Soit \, (p;q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}* \, : \, p ^\wedge q = 1.$

La question est de trouver la classe d’équivalence de (p;q).

Montrer que c’est une relation d’ordre

L’exercice consiste à montrer que la relation suivante est une relation d’ordre :

$\forall (x;y) \, et \, (x';y') \in \mathbb{R}^2, \, (x;y)R(x';y') \Leftrightarrow x \lt x' ou (x = x' \, et \, y \le y')$

Ordre partiel et total

L’exercice est le même que précédemment (montrer que c’est une relation d’ordre) mais on demande en plus si c’est un ordre partiel ou total :

$\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{N}$

Même question avec Z à la place de Z.

Méthode Maths