Exercices sur les relations d’équivalence et relations d’ordre

Sommaire

Montrer que c’est une relation d’équivalence
Classes d’équivalence
Montrer que c’est une relation d’ordre
Ordre partiel et total

Montrer que c’est une relation d’équivalence

L’exercice consiste à montrer que les relations suivantes sont des relations d’équivalence :

$\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow cos^2 (x) + sin^2 (y) = 1$

$\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow xe^y = ye^x$

Classes d’équivalence

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Dans la première vidéo, il faut montrer que la relation suivante est une relation d’équivalence, et trouver les classes d’équivalence :

$\forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2, \, xRy \Leftrightarrow x + y \, est \, pair$

Dans la deuxième vidéo, même énoncé avec la relation suivante :

$\forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2, \, xRy \Leftrightarrow x^2 - y^2 = x - y$

Idem pour la troisième vidéo, avec une relation un peu plus difficile :

$\forall (x;y) \, et \, (x';y') \in (\mathbb{Z} \times \mathbb{N})^2, \, (x;y)R(x';y') \Leftrightarrow xy' = x'y$

Deuxième question :

$Soit \, (p;q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}* \, : \, p ^\wedge q = 1.$

La question est de trouver la classe d’équivalence de (p;q).

Dans la 4ème vidéo, il faut également montrer dans un premier temps que la relation suivante est une relation d’équivalence.
Il faudra ensuite donner la classe d’équivalence de (1 ; 0), (0 ; -1) et (1 ; 1), puis en déduire les classes d’équivalence de la relation R.

$\forall (x;y) \, et \, (x';y') \in \mathbb{R}^2, \, (x;y)R(x';y') \Leftrightarrow \exists a \gt 0 \, et \, \exists b \gt 0 \, : \, x' = ax \, et \, y' = by$