Exercices sur les relations d’équivalence et relations d’ordre

Sommaire

Montrer que c’est une relation d’équivalence
Classes d’équivalence
Montrer que c’est une relation d’ordre
Ordre partiel et total
Théorème de Lagrange : démonstration

Montrer que c’est une relation d’équivalence

L’exercice consiste à montrer que les relations suivantes sont des relations d’équivalence :

\(\displaystyle \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow cos^2 (x) + sin^2 (y) = 1 \)

\(\displaystyle \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow xe^y = ye^x \)

Classes d’équivalence

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Dans la première vidéo, il faut montrer que la relation suivante est une relation d’équivalence, et trouver les classes d’équivalence :

\(\displaystyle \forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2, \, xRy \Leftrightarrow x + y \, est \, pair \)

Dans la deuxième vidéo, même énoncé avec la relation suivante :

\(\displaystyle \forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2, \, xRy \Leftrightarrow x^2 – y^2 = x – y \)

Idem pour la troisième vidéo, avec une relation un peu plus difficile :

\(\displaystyle \forall (x;y) \, et \, (x’;y’) \in (\mathbb{Z} \times \mathbb{N})^2, \)

\(\displaystyle (x;y)R(x’;y’) \Leftrightarrow xy’ = x’y \)

Deuxième question :

\(\displaystyle Soit \, (p;q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \, : \, p ^\wedge q = 1. \)

La question est de trouver la classe d’équivalence de (p;q).

Dans la 4ème vidéo, il faut également montrer dans un premier temps que la relation suivante est une relation d’équivalence.
Il faudra ensuite donner la classe d’équivalence de (1 ; 0), (0 ; -1) et (1 ; 1), puis en déduire les classes d’équivalence de la relation R.

\(\displaystyle \forall (x;y) \, et \, (x’;y’) \in \mathbb{R}^2, \)

\(\displaystyle (x;y)R(x’;y’) \Leftrightarrow \exists a \gt 0 \, et \, \exists b \gt 0 \, : \)

\(\displaystyle x’ = ax \, et \, y’ = by \)

Montrer que c’est une relation d’ordre

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L’exercice consiste à montrer que la relation suivante est une relation d’ordre :

\(\displaystyle \forall (x;y) \, et \, (x’;y’) \in \mathbb{R}^2, \)

\(\displaystyle \(x;y)R(x’;y’) \Leftrightarrow x \lt x’ ou (x = x’ \, et \, y \le y’) \)

Ordre partiel et total

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L’exercice est le même que précédemment (montrer que c’est une relation d’ordre) mais on demande en plus si c’est un ordre partiel ou total :

\(\displaystyle \forall (x;y) \in \mathbb{R}^2, \, xRy \Leftrightarrow x – y \in \mathbb{N} \)

Même question avec Z à la place de Z.

Théorème de Lagrange : démonstration

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Nous allons démontrer le théorème de Lagrange :
Si G est un groupe fini, et H un sous-groupe de G, alors card(H) divise card(G).
Pour cela nous allons utiliser la relation d’équivalence suivante : xRy ⇔ x-1y ∈ H
On montrera d’abord qu’il s’agit bien d’une relation d’équivalence.

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