Exercices sur les polynômes

Sommaire

Les polynômes de Lagrange
Division euclidienne de polynômes
Factorisation de polynômes
Produit scalaire avec des polynômes
Exercice classique : P’ divise P
Équation avec le degré du polynôme

Les polynômes de Lagrange

Cet exercice est un exercice très classique, qui peut être considéré comme du cours.
On considère n+1 complexes x0, x1, x2… xn.
Le but est de trouver, pour tout i ∈ [|0;n|], les polynômes Li de degré inférieur ou égal à n tels que :

Ces polynômes sont appelés polynômes de Lagrange.
Montrer ensuite que la famille (Li) forme une base de Cn.

Division euclidienne de polynômes

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A quelles conditions sur a, b et c le polynôme X2 + X + 1 divise X4 + aX2 + bX + c ?

Factorisation de polynômes

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Factoriser f(x) = x5 – 2x4 -x3 + 5x2 – 4x + 1.

Produit scalaire avec des polynômes

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Pour tout (P ; Q) appartenant à R[X]2, on définit l’application :

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].

Exercice classique : P’ divise P

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Trouver les polynômes de C[X] tels que P’ divise P.

Équation avec le degré du polynôme

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Trouver tous les polynômes P tels que :

Trouver ensuite tous les polynômes P tels que :

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