Exercices corrigés sur les limites de suites

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Limites de suites
Théorème des gendarmes / d’encadrement
Le théorème du point fixe
Suite définie par une fonction

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Limites de suites

Calculer la limite des suites suivantes :

$u_n = -5n^3 + 2n\sqrt{n} - 8$

$u_n = \frac{3n^2 - 7n - 6}{7n + 5}$

$u_n = \frac{n^2 + 3cos(n)}{-7n^2 + 2}$

$u_n = 8(\frac{3}{5})^n$

$u_n = -9(\frac{5}{2})^n$

$u_n = 3(-\frac{1}{4})^n + 8n^5$

Théorème des gendarmes / d’encadrement

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Calculer les limites des suites suivantes :

$u_n = \frac{3n + cos(n)}{5n + 2}$

$u_n = \frac{2sin(n)}{6n + 5}$

$u_n = \frac{7 + 2(-1)^n}{n^2}$

$f(x) = \frac{5cos(x)}{x^2 - 7}$

Le théorème du point fixe

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Soit (u_n) la suite définie par u₀ = 1 et pour tout entier naturel n :

$u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$

On suppose que u_n > 0 pour tout entier naturel n.
1) Montrer que (u_n) est décroissante.
2) Montrer que (u_n) converge.
3) Calculer la limite de (u_n).

Suite définie par une fonction

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On définit la suite (u_n) par u₀ = 0,7 et :

$u_{n + 1} = \frac{3u_n}{1 + 2u_n}$

On pose également pour tout réel x :

$f(x) = \frac{3x}{1 + 2x}$

1) Déterminer les variations de f
2) En déduire que pour tout x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].
3) Montrer que pour tout entier naturel n : 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ 1
4) Que peut-on en déduire pour la suite (u_n) ?

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