Exercices sur les intégrales impropres

Sommaire

Exercice de base
Les intégrales de Bertrand
Fonction Gamma

Exercice de base

Etudier la convergence des intégrales suivantes :

Les intégrales de Bertrand

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On considère l’intégrale de Bertrand suivante :

Pour quelles valeurs de α et β l’intégrale converge ?

Etude de la fonction Gamma

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On définit la fonction gamma par :

1) Monter que Γ est définie sur ]0 ; + ∞[
2) Monter que Γ est continue sur ]0 ; + ∞[
3) Monter que Γ est C sur ]0 ; + ∞[ et que pour tout entier naturel non nul k :

4) Montrer que pour tout x > 0 : Γ(x + 1) = x Γ(x) et calculer Γ(n + 1) pour tout entier naturel n.
5) Calculer Γ(1/2) puis Γ(n + 1/2)
6) Montrer que Γ est convexe et étudier ses variations.

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