Exercices sur les intégrales impropres

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Exercice de base
Les intégrales de Bertrand
Fonction Gamma

Exercice de base

Etudier la convergence des intégrales suivantes :

$\int\limits_{0}^{1} ln(x) dx$

$\int\limits_{0}^{+ \infty} e^{-t^2} dt$

$\int\limits_{0}^{+ \infty} x sin(x) e^{-x} dx$

$\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{ln(t)}{t^2 + 5}dt$

$\int\limits_{1}^{+ \infty} e^{-\sqrt{ln(t)}}dt$

Les intégrales de Bertrand

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On considère l’intégrale de Bertrand suivante :

$\int\limits_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t^\alpha (ln(t))\beta}dt$

Pour quelles valeurs de α et β l’intégrale converge ?

Etude de la fonction Gamma

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On définit la fonction gamma par :

$\Gamma(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} \, e^{-t}dt$

1) Monter que Γ est définie sur ]0 ; + ∞[
2) Monter que Γ est continue sur ]0 ; + ∞[
3) Monter que Γ est C^∞ sur ]0 ; + ∞[ et que pour tout entier naturel non nul k :

$\Gamma^{(k)}(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty} (ln(t))^k \, t^{x - 1} \, e^{-t}dt$

4) Montrer que pour tout x > 0 : Γ(x + 1) = x Γ(x) et calculer Γ(n + 1) pour tout entier naturel n.
5) Calculer Γ(1/2) puis Γ(n + 1/2)
6) Montrer que Γ est convexe et étudier ses variations.

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