Exercices sur les intégrales impropres

Sommaire

Exercice de base
Justification et calcul
Autre exercice de base
Sans borne infinie
Les intégrales de Bertrand
Fonction Gamma

Exercice de base

Etudier la convergence des intégrales suivantes :

$\int\limits_{0}^{1} ln(x) dx$

$\int\limits_{0}^{+ \infty} e^{-t^2} dt$

$\int\limits_{0}^{+ \infty} x sin(x) e^{-x} dx$

$\int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{ln(t)}{t^2 + 5}dt$

$\int\limits_{1}^{+ \infty} e^{-\sqrt{ln(t)}}dt$

Justification et calcul

Justifier la convergence et calculer les deux intégrales suivantes avec a > 0 :

$I = \int\limits_{0}^{+ \infty} sin(t) e^{-at }dt$

$J = \int\limits_{0}^{+ \infty} cos(t) e^{-at }dt$

Autre exercice de base

Justifier la convergence et calculer l’intégrale suivante :

$I = \int\limits_{0}^{+ \infty} t e^{-\sqrt{t}}dt$

Sans borne infinie

Justifier la convergence et calculer l’intégrale suivante :

$I = \int\limits_{0}^{1} \frac{ln(t)}{\sqrt{1-t}} dt$

Les intégrales de Bertrand

On considère l’intégrale de Bertrand suivante :

$\int\limits_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t^\alpha (ln(t))\beta}dt$

Pour quelles valeurs de α et β l’intégrale converge ?

Etude de la fonction Gamma

On définit la fonction gamma par :

$\Gamma(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} \, e^{-t}dt$

1) Monter que Γ est définie sur ]0 ; + ∞[
2) Monter que Γ est continue sur ]0 ; + ∞[
3) Monter que Γ est C^∞ sur ]0 ; + ∞[ et que pour tout entier naturel non nul k :

$\Gamma^{(k)}(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty} (ln(t))^k \, t^{x - 1} \, e^{-t}dt$

4) Montrer que pour tout x > 0 : Γ(x + 1) = x Γ(x) et calculer Γ(n + 1) pour tout entier naturel n.
5) Calculer Γ(1/2) puis Γ(n + 1/2)
6) Montrer que Γ est convexe et étudier ses variations.

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