Sommaire

Union et intersection de sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels ou non ?
Montrer que deux espaces vectoriels sont égaux
Fonctions paires et impaires en somme directe
Matrices symétriques et antisymétriques en somme directe
Propriété des endomorphismes orthogonaux

Union et intersection de sous-espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel, et F et G deux sous-espaces vectoriels (SEV) de E.
Montrer que F ∩ G est un SEV de E.
Montrer que F ∪ G est un SEV de E ⇔ F ⊂ G ou G ⊂ F

Sous-espaces vectoriels ou non ?

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Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?

Montrer que deux espaces vectoriels sont égaux

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On considère les vecteurs suivants :

Soient F et G définis par F = Vect(u₁, u₂, u₃) et G = Vect(e₁, e₂)
Montrer que F = G (on pourra répondre à la question de 2 manières différentes).

Fonctions paires et impaires en somme directe

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Cet exercice est très classique !
On considère E l’ensemble des fonctions de R dans R.
Soit F l’ensemble des fonctions paires et G l’ensemble des fonctions impaires.
Montrer que E = F ⊕ G

Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques en somme directe

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Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisymétriques sont en somme directe, c’est-à-dire montrer que S_n ⊕ A_n = M_n(R).

Décomposer ensuite la matrice suivante selon cette somme directe :

Propriété des endomorphismes orthogonaux

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Soit F un SEV de E, et f ∈ O(E) (f est donc un endomorphisme orthogonal de E).
Montrer que f(F^⊥) = (f(F))^⊥

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