Sommaire
Union et intersection de sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels ou non ?
Montrer que deux espaces vectoriels sont égaux
Montrer qu’une famille est libre
Famille de fonctions libres
Noyau et image d’un endomorphisme
Noyau, image et matrice dans la base canonique.
Noyaux itérés (classique).
Démonstration de la formule de Grassmann
Application de la formule de Grassmann
Fonctions paires et impaires en somme directe
Matrices symétriques et antisymétriques en somme directe
Endomorphisme nilpotent – exercice classique
Propriété des endomorphismes orthogonaux
Théorème de Lagrange : démonstration
Image et image réciproque
Soit E un espace vectoriel, et F et G deux sous-espaces vectoriels (SEV) de E.
Montrer que F ∩ G est un SEV de E.
Montrer que F ∪ G est un SEV de E ⇔ F ⊂ G ou G ⊂ F
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
\(\displaystyle E = \left\{ (x;y;z) \in \mathbb{R}^3 | 2x – y + 4z = 0 \right\} \)
\(\displaystyle F = \left\{ (x;y;z) \in \mathbb{R}^3 | 3x – 2y + 8z = 5 \right\} \)
\(\displaystyle G = \left\{ (x;y) \in \mathbb{R}^2 | y = x^3 \right\} \)
\(\displaystyle H = E \cap Q \ \)
\(\displaystyle avec \, Q = \left\{ (x;y;z) \in \mathbb{R}^3 | 7x – 6y + 3z = 0 \right\} \)
\(\displaystyle I = E \cup Q \)
On considère les vecteurs suivants :
\(\displaystyle u_1 \, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \, \, u_2 \, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, \, \, u_3 \, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle e_1 \, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \, \, e_2 \, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Soient F et G définis par F = Vect(u1, u2, u3) et G = Vect(e1, e2)
Montrer que F = G (on pourra répondre à la question de 2 manières différentes).
Montrer que la famille suivante est libre : ((1;3;2) ;(2;1;4) ; (1;1;3))
Montrer que cos(t), sin(t), t, t2 et t3 forment une famille libre.
Soit n un entier naturel. Pour tout réel x et tout entier k compris entre 0 et n, on pose fk(x) = ekx
Montrer que la famille (fk) avec k entier entre 0 et n est libre.
Trouver le noyau et l’image des endomorphismes suivants.
Sont-ils injectifs ? Surjectifs ? Bijectifs ?
\(\displaystyle f(x \, ; \, y) = (2x + 3y \, ; \, x – y) \)
\(\displaystyle g(x \, ; \, y \, ; \, z) = (2x + y + z \, ; \, y – z \, ; \, x + y) \)
\(\displaystyle h(x \, ; \, y) = (y \, ; \, 0 \, ; \, x – 6y \, ; \, x – y) \)
Soit u tel que :
\(\displaystyle \forall (x \, ; \, y \, ; \, z) \in \mathbb{R}^3, \)
\(\displaystyle u(x \, ; \, y \, ; \, z) = (x + y \, ; \, 2x – z \, ; \, 3x + 2y) \)
1) Montrer que u est un endomorphisme.
2) Déterminer le noyau, l’image et la matrice de u dans le base canonique.
Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
1) Montrer que la suite (Ker(f k)) est croissante pour l’inclusion et que la suite (Im(f k)) est décroissante pour l’inclusion.
2) Montrer qu’il existe un entier naturel r tel que Ker(f r)) = Ker(f r + 1))
3) Montrer que pout tout entier n ≥ r : Ker(f n)) = Ker(f n + 1))
4) Montrer que pout tout entier n ≥ r : Im(f n)) = Im(f n + 1))
5) Montrer que pout tout entier n ≥ r :
\(\displaystyle E = Ker(f^n) \oplus Im(f^n) \)
On considère deux espaces vectoriels F et G.
Nous allons démontrer la formule de Grassmann, qui est :
\(\displaystyle dim(F + G) = dim(F) + dim(G) – dim(F \cap G) \)
Soit f et g appartenant à L(E).
On suppose que E = Ker(f) + Ker(g) et E = Im(f) + Im(g)
Montrer que ces sommes sont directes.
Cet exercice est très classique !
On considère E l’ensemble des fonctions de R dans R.
Soit F l’ensemble des fonctions paires et G l’ensemble des fonctions impaires.
Montrer que E = F ⊕ G
Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisymétriques sont en somme directe, c’est-à-dire montrer que Sn ⊕ An = Mn(R).
Décomposer ensuite la matrice suivante selon cette somme directe :
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\, \)
Soit u un endomorphisme de R3 tel que : u3 = OE et u2 ≠ OE
Partie 1 :
a) Montrer que ∀ x ∉ Ker(u2), (x ; u(x) ; u2(x)) est libre.
b) Soit (e1 ; e2 ; e3) la base canonique de R3.
Montrer qu’ils ne peuvent pas tous être dans Ker(u2).
c) On suppose que e1 ∉ Ker(u2).
On pose : e’1 = e1, e’2 = u(e1), e’3 = u2(e1)
Montrer que (e’1 ; e’2 ; e’3) est une base de R3.
d) Donner la matrice de u dans cette base.
(la deuxième partie est en-dessous des vidéos ci-dessous concernant la Partie 1)
Partie 2 :
Soit A la matrice :
1) Montrer que A est nilpotente. En déduire (I – A)-1
2) Montrer que (u2(e3), u(e3), e3) est une base de E.
3) Donner P. Calculer P2 et en déduire P-1.
4) En déduire A’ dans cette nouvelle base de deux manières différentes.
Soit F un SEV de E, et f ∈ O(E) (f est donc un endomorphisme orthogonal de E).
Montrer que f(F⊥) = (f(F))⊥
Nous allons démontrer le théorème de Lagrange :
Si G est un groupe fini, et H un sous-groupe de G, alors card(H) divise card(G).
Pour cela nous allons utiliser la relation d’équivalence suivante : xRy ⇔ x-1y ∈ H
Soit f une application de E dans E, et A inclus dans E.
Comparer f/-1(f(A)) et f(f/-1(A)).
Dans quel cas a-t-on égalité ?
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