Exercices sur les espaces vectoriels

Sommaire

Union et intersection de sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels ou non ?
Montrer que deux espaces vectoriels sont égaux
Montrer qu’une famille est libre
Noyau et image d’un endomorphisme
Noyau, image et matrice dans la base canonique
Démonstration de la formule de Grassmann
Fonctions paires et impaires en somme directe
Matrices symétriques et antisymétriques en somme directe
Endomorphisme nilpotent – exercice classique
Propriété des endomorphismes orthogonaux

Union et intersection de sous-espaces vectoriels

Soit E un espace vectoriel, et F et G deux sous-espaces vectoriels (SEV) de E.
Montrer que F ∩ G est un SEV de E.
Montrer que F ∪ G est un SEV de E ⇔ F ⊂ G ou G ⊂ F

Sous-espaces vectoriels ou non ?

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Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels ?

Montrer que deux espaces vectoriels sont égaux

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On considère les vecteurs suivants :

Soient F et G définis par F = Vect(u1, u2, u3) et G = Vect(e1, e2)
Montrer que F = G (on pourra répondre à la question de 2 manières différentes).

Montrer qu’une famille est libre

Montrer que la famille suivante est libre : ((1;3;2) ;(2;1;4) ; (1;1;3))

Noyau et image d’un endomorphisme

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Trouver le noyau et l’image des endomorphismes suivants.
Sont-ils injectifs ? Surjectifs ? Bijectifs ?

Noyau, image et matrice dans la base canonique

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Soit u tel que :

1) Montrer que u est un endomorphisme.
2) Déterminer le noyau, l’image et la matrice de u dans le base canonique.

Démonstration de la formule de Grassmann

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On considère deux espaces vectoriels F et G.
Nous allons démontrer la formule de Grassmann, qui est :

Fonctions paires et impaires en somme directe

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Cet exercice est très classique !
On considère E l’ensemble des fonctions de R dans R.
Soit F l’ensemble des fonctions paires et G l’ensemble des fonctions impaires.
Montrer que E = F ⊕ G

Ensemble des matrices symétriques et antisymétriques en somme directe

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Montrer que l’ensemble des matrices symétriques et l’ensemble des matrices antisymétriques sont en somme directe, c’est-à-dire montrer que Sn ⊕ An = Mn(R).

Décomposer ensuite la matrice suivante selon cette somme directe :

Endomorphisme nilpotent : exercice classique

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Soit u un endomorphisme de R3 tel que : u3 = OE et u2 ≠ OE

a) Montrer que ∀ x ∉ Ker(u2), (x ; u(x) ; u2(x)) est libre.
b) Soit (e1 ; e2 ; e3) la base canonique de R3.
Montrer qu’ils ne peuvent pas tous être dans Ker(u2).
c) On suppose que e1 ∉ Ker(u2).
On pose : e’1 = e1, e’2 = u(e1), e’3 = u2(e1)
Montrer que (e’1 ; e’2 ; e’3) est une base de R3.
d) Donner la matrice de u dans cette base.


Propriété des endomorphismes orthogonaux

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Soit F un SEV de E, et f ∈ O(E) (f est donc un endomorphisme orthogonal de E).
Montrer que f(F) = (f(F))

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