Sommaire

Formules des probabilités totales
Loi et espérance de X/Y
L’exercice des tulipes

Formules des probabilités totales

On considère N boules indiscernables au toucher numérotées de 1 à N.
On note X_k la variable aléatoire correspondant au numéro de la boule tirée au k-ième tirage.
On suppose qu’à k = 0, on tire nécessairement la boule numéro 1. Puis une autre parmi les N – 1 restantes de manière équiprobable, et ainsi de suite.
Pour tout entier naturel k, et tout entier i compris entre 1 et N, on note :

1) Déterminer la loi de X₀ et de X₁.
2) Déterminer u_k,i ainsi qu’un équivalent en +∞

Loi et espérance de X/Y

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Soit p et q deux réels strictement compris entre 0 et 1, et X et Y des variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre respectif p et q.
On pose U = X/Y.
1) Déterminer la loi de U.
2) Calculer E(U)
3) Montrer que si p = q, alors E(U) ≥ 1

L’exercice des tulipes et l’année de floraison

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On considère n fleurs, chacune ayant une probabilité p ∈ ]0 ; 1[ de fleurir chaque année.
Si elle fleurit, elle fleurira tous les ans après.
Soit X_i l’année de la première fleuraison de la i-ème fleur, et X l’année à partir de laquelle tous les fleurs ont fleuri.
1) Exprimer X en fonction de X_i
2) Déterminer la loi de X_i
3) Pour tout entier naturel k, déterminer P(X > k)
4) Calculer E(X)

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