Sommaire
Inégalité de Jensen
Inégalité de Bernoulli
Inégalité arithmético-géométrique
Avec la fonction ln
Avec la fonction sin
L’inégalité des 3 pentes
Nous allons démontrer par récurrence l’inégalité de Jensen suivante.
Soit f une fonction convexe sur I. Soit n ≥ 2, alors :
\(\displaystyle \forall x_1, x_2, \cdots, x_n \in I, \)
\(\displaystyle \forall \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \in [0 ; 1]^n \, tels \, que \, \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \)
\(\displaystyle f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i) \;\leq\; \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i). \)
Soit n ≥ 2, et pour tout réel x supérieur ou égal à -1 : f(x) = (1 + x)n
1) Etudier la convexité de f
2) En déduire que pour tout x ≥ -1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx
Nous allons démontrer l’inégalité arithmético-géométrique avec la méthode de Jensen et celle de Polya :
\(\displaystyle \forall x_1, x_2, \cdots, x_n \gt 0 \)
\(\displaystyle \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \;\leq\; \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \)
Montrer que pour tout réel x > 1, la fonction f(x) = ln(ln(x)) est concave.
En déduire que pour tout réel a et b appartenant à ]1 + ∞[ :
\(\displaystyle ln(\frac{a + b}{2}) \ge \sqrt{ln(a)ln(b)} \)
Montrer que pour tout réel x appartenant à [0 ; π/2] :
\(\displaystyle \frac{2}{\pi}x \le sin(x) \le x \)
Nous allons montrer l’équivalence entre les trois affirmations ci-dessous :
\(\displaystyle i) f \, est \, convexe \, sur \, I \)
\(\displaystyle ii) \forall a \in I, \Phi : x \mapsto \frac{f(x) – f(a)}{x – a} \)
\(\displaystyle est \, croissante \, sur \, I \setminus \{a\} \)
\(\displaystyle iii) \forall u, v, w : u \lt v \lt w : \)
\(\displaystyle \frac{f(v) – f(u)}{v – u} \le \frac{f(w) – f(u)}{w – u} \le \frac{f(w) – f(v)}{w – v} \)
Retour au sommaire des exercicesRemonter en haut de la page