Le théorème de Cesàro

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Démonstration du théorème
Application du théorème

Démonstration du théorème

Nous allons tout d’abord démontrer le théorème de Cesàro dans la vidéo ci-dessous avant de voir une application.
On considère une suite (u_n) et une suite v_n définie par v₀ = u₀ et :

$\forall n \ge 1, \, v_n = \frac{u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_n}{n}$

Montrer que si (u_n) converge vers un réel l, alors(v_n) converge également vers l.

Application du théorème

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Il s’agit dans cet exercice de calculer les limites des suites suivantes en appliquant le théorème de Cesàro :

$\displaystyle w_n = \prod_{k = 1}^{n} (1 +\frac{2}{k})^{\frac{k}{n}}$

$u_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n} + ... + \frac{1}{n^2}$

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Le théorème de Cesàro

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