Exercices corrigés sur les produits scalaires et les normes post-bac

Sommaire

Produit scalaire avec des matrices
Produit scalaire avec des polynômes
Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Trouver a et b pour que l’intégrale soit minimale
Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Montrer que les normes 1 et infinie sont des normes
Montrer que la norme 2 est une norme
Les normes équivalentes
Boule ouverte pour différentes normes

Produit scalaire avec des matrices

Soit un entier strictement positif.
Pour tout (A ; B) appartenant à M_n(R)², on définit l’application :

\(\displaystyle \lt A \, ; \, B \gt = Tr(^t A B) \)

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur M_n(R).

Produit scalaire avec des polynômes

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Pour tout (P ; Q) appartenant à R[X]², on définit l’application :

\(\displaystyle \lt P \, ; \, Q \gt = \int\limits_0^1 P(t) \, Q(t) \, dt \)

Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].

Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

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L’exercice décrit une méthode très classique : le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Il s’agit de transformer une base quelconque en une base orthonormée.
On considère donc les vecteurs suivants :

\(\displaystyle \vec{e_1} \, \left(\begin{array}{1} 1\\0\\1\end{array}\right) \)

\(\displaystyle \vec{e_2} \, \left(\begin{array}{1} 1\\1\\1\end{array}\right) \)

\(\displaystyle \vec{e_3} \, \left(\begin{array}{1} -1\\-1\\0\end{array}\right) \)

On suppose que (e₁, e₂, e₃) est une base.
L’exercice consiste à transformer cette base en une base orthonormée notée (u₁, u₂, u₃).
Remarque : on considérera que l’espace est muni du produit scalaire canonique.

Trouver a et b pour que l’intégrale soit minimale

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Nous allons voir ici un exercice très classique.
On pose :

\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{1} (x^2 – ax – b)^2 dx \)

Trouver a et b pour que I soit minimale et calculer I.

Montrer que les normes 1 et infinie sont des normes

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Nous allons montrer que la norme 1 et la norme infinie sont des normes en montrant qu’elles vérifient bien l’axiome de séparation, l’absolue homogénéité et l’inégalité triangulaire.