Sommaire
Les polynômes de Lagrange
Les polynômes de Tchebychev
Division euclidienne de polynômes
Factorisation avec racines multiples
Factorisation avec racine évidente
Factorisation avec les complexes
Produit scalaire avec des polynômes
Exercice classique : P’ divise P
Équation avec le degré du polynôme
Les polynômes qui commutent avec cos
Cet exercice est un exercice très classique, qui peut être considéré comme du cours.
On considère n+1 complexes x0, x1, x2… xn.
Le but est de trouver, pour tout i ∈ [|0;n|], les polynômes Li de degré inférieur ou égal à n tels que :
\(\displaystyle \forall i, \, j \in [|0;n|] \, : \, L_i(x_j) = \delta_{ij} \)
Ces polynômes sont appelés polynômes de Lagrange.
Montrer ensuite que la famille (Li) forme une base de Cn.
Les polynômes de Tchebychev de première espèce sont définis par :
T0 = 1, T1 = X, et Tn+2 = 2XTn+1 – Tn
1) Calculer T2 et T3
2) Quel est le degré de Tn, et son coefficient dominant ?
3) Montrer que pour tout entier naturel n et pour tout réel θ : Tn(cos(θ)) = cos(nθ)
4) Calculer Tn(1) et Tn‘(1)
5) Pour tout entier naturel non nul n, déterminer les racines de Tn sur [-1 ; 1]
Que peut-on en conclure ?
A quelles conditions sur a, b et c le polynôme X2 + X + 1 divise X4 + aX2 + bX + c ?
Factoriser f(x) = x5 – 2x4 -x3 + 5x2 – 4x + 1.
Factoriser f(x) = x4 + 5x3 + 8x2 – 2x -12
Factoriser dans R f(x) = x4 + 1
Pour tout (P ; Q) appartenant à R[X]2, on définit l’application :
\(\displaystyle \lt P \, ; \, Q \gt = \int\limits_0^1 P(t) \, Q(t) \, dt \)
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].
Trouver les polynômes de C[X] tels que P’ divise P.
Trouver tous les polynômes P tels que :
\(\displaystyle P(X^2) = (X^2 + 1)P(X) \)
Trouver ensuite tous les polynômes P tels que :
\(\displaystyle P’^2 = 4P \)
Retour au sommaire des exercicesRemonter en haut de la page
Trouvez les polynômes qui commutent avec le fonction cos.
On pourra commencer par chercher ceux de degré 0, puis de degré 1, et enfin ceux de degré supérieur ou égal à 2.