Exercices sur les dérivées partielles et primitives

Calcul de dérivées partielles

Dans cette vidéo nous allons calculer les dérivées partielles suivantes :

$\frac{\partial f}{\partial x}, \, \frac{\partial f}{\partial y}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}$

$\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} \, et \, g'(x)$

pour les fonctions suivantes :

$f(x \, ; \, y) = e^x sin(y)$

$f(x \, ; \, y) = \sqrt{3x + 2y}$

$g(x) = h(3x + 4 \, ; -7 \sqrt{x} + 5)$

avec :

$h(u \, ; \, v) = u^4 + v^2$

Calcul de dérivées partielles composées

Calculer les dérivées partielles premières de H et F, ainsi que G’ pour les fonctions suivantes :

$F(x \, ; \, y) = cos(x + y)$

$G(t) = F(e^t \, \, ; \, \, 2t^3)$

$H(x \, ; \, y) = F(xy \, \, ; \, \, x + e^y)$

Primitive avec des dérivées partielles

Pour cette 2ème vidéo, nous allons chercher l’ensemble des fonctions f qui sont C¹ de R² dans R, vérifiant le système :

$\left\{ \begin{array} \frac{\partial f}{\partial x} = ye^x \\ \frac{\partial f}{\partial y} = e^x + 2y \end{array} \right$

Nous ferons la même chose avec le système suivant :

$\left\{ \begin{array} \frac{\partial f}{\partial x} = yx^2 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = xy^2 \end{array} \right$

Formes différentielles exactes

Montrer que la forme différentielle suivante est exacte et l’intégrer :

$\forall (x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2, \, f(x \, ; \, y) = 2xydx + x^2 dy$

Même question avec la forme suivante :

$\forall (x \, ; \, y \, ; \, z) \in \mathbb{R}^3, \, f(x \, ; \, y \, ; \, z) = yz^2 dx + (xz^2 + z) dy + (2xyz + 2z + y)dz$

Méthode Maths