Exercices corrigés sur les intégrales à paramètre

Continuité d’une intégrale à paramètre

On pose :

$\displaystyle F(x) = \int_{0}^{1} \frac{t^{x - 1}}{1 + t} \, dt$

1) Donner l’ensemble de définition de F
2) Montrer que F est continue sur son ensemble de définition.

Dérivabilité d’une intégrale à paramètre

Pour tout réel x, on pose :

$\displaystyle F(x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin(xt)}{t} \, e^{-t} \,dt$

1) Montrer que F est C¹ et calculer F’ puis F.
2) Même question avec pour tout x > 0 :

$\displaystyle F(x) = \int_{0}^{\Pi/2} \frac{cos(t)}{t + x} \, dt$

Méthode Maths