Exercices corrigés sur les intégrales doubles

Intégrales doubles de base

Calculer les intégrales suivantes :

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{5}^{7} x^2 y \, dx \, dy$

$\displaystyle \int\limits_{0}^{2} \int\limits_{5}^{7} x^2 + y \, dx \, dy$

$\displaystyle \int\limits_{3}^{5} \int\limits_{1}^{x} x^2 + y \, dx \, dy$

Calcul de l’aire d’un domaine

On pose

$\displaystyle D = \{(x;y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 1, \, x^2 + y^2 \ge 1 \}$

Calculer l’aire de D.

Intégrale double sur un domaine

Suite de l’exercice précédent.
On pose à nouveau :

$\displaystyle D = \{(x;y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \le x \le 1, \, 0 \le y \le 1, \, x^2 + y^2 \ge 1 \}$

Calculer

$\displaystyle \int \int\limits_{D} \frac{xy}{1 + x^2 + y^2} \, dx \, dy$

Domaine défini par 3 droites

On définit le domaine D délimité par les droites d’équation x = 1, y = x et y = 2x.

$\displaystyle \int \int\limits_{D} \frac{y}{x} \, dx \, dy$

Intégrale calculée de 2 méthodes différentes

Calculer l’intégrale double suivante de 2 manières différentes (calcul direct ou calcul avec application d’une formule de trigonométrie) :

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\Pi/2} \int\limits_{0}^{\Pi/2} sin(x + y) \, dx \, dy$

Méthode Maths