Exercices sur les dérivées partielles et primitives

Sommaire

Calcul de dérivées partielles
Calcul de dérivées partielles composées
Primitive avec des dérivées partielles
Formes différentielles exactes

Calcul de dérivées partielles

Dans cette vidéo nous allons calculer les dérivées partielles suivantes :

\(\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}, \, \frac{\partial f}{\partial y}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} \)

\(\textstyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}, \, \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} \, et \, g'(x) \)

pour les fonctions suivantes :

\(\textstyle f(x \, ; \, y) = e^x sin(y) \)

\(\textstyle f(x \, ; \, y) = \sqrt{3x + 2y} \)

\(\textstyle g(x) = h(3x + 4 \, ; -7 \sqrt{x} + 5) \)

avec :

\(\textstyle h(u \, ; \, v) = u^4 + v^2 \)

Calcul de dérivées partielles composées

Haut de page

Calculer les dérivées partielles premières de H et F, ainsi que G’ pour les fonctions suivantes :

\(\textstyle F(x \, ; \, y) = cos(x + y) \)

\(\textstyle G(t) = F(e^t \, \, ; \, \, 2t^3) \)

\(\textstyle H(x \, ; \, y) = F(xy \, \, ; \, \, x + e^y) \)

Primitive avec des dérivées partielles

Haut de page

Pour cette 2ème vidéo, nous allons chercher l’ensemble des fonctions f qui sont C1 de R2 dans R, vérifiant le système :

\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} = ye^x \\ \frac{\partial f}{\partial y} = e^x + 2y \end{array} \right. \)

Nous ferons la même chose avec le système suivant :

\(\textstyle \left\{ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} = yx^2 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = xy^2 \end{array} \right. \)

Formes différentielles exactes

Haut de page

Montrer que la forme différentielle suivante est exacte et l’intégrer :

\(\textstyle \forall (x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2, \, f(x \, ; \, y) = 2xydx + x^2 dy \)

Même question avec la forme suivante :

\(\textstyle \forall (x \, ; \, y \, ; \, z) \in \mathbb{R}^3, \)

\(\textstyle f(x;y; z) = yz^2 dx + (xz^2 + z) dy + (2xyz + 2z + y)dz \)

Retour au sommaire des exercicesRemonter en haut de la page



Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *