Sommaire
Avec le binôme de Newton
Calcul d’une somme télescopique double
Une somme télescopique classique
Un produit télescopique
Inverser les indices avec deux sommes
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
Calcul de la somme des k x 2^k
k parmi n pour k pair et impair
Somme des k parmi n au carré
Double somme des min(i,j)
Double somme des max(i,j)
Double somme des i/(i+j)
Exprimer avec le symbole somme et produit
Identité de Vandermonde
Somme de cosinus
Calculer la somme suivante :
\(\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} \)
Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x différent et 0 et de -1 :
\(\displaystyle \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \)
En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de :
\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)} \)
Calculer, pour tout entier naturel n ≥ 2 :
\(\displaystyle P_n = \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^2}) \)
Dans cet exercice, il s’agit d’inverser les indices dans les doubles sommes suivantes :
\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n a_{ij} \)
\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{ij} \)
\(\displaystyle \sum_{i = 0}^n \sum_{j = i}^m a_{ij} \, avec \, m \gt n \)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :
\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :
\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 \)
Calculer la somme suivante :
\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k \times 2^k \)
Pour tout entier naturel n, calculer :
\(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=0, k \, pair}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} \)
et
\(\displaystyle \sum_{k=0, \, k \, impair}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} \)
Pour tout entier naturel n, calculer :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,^2 \)
en utilisant g(x) = xn × xn
Pour tout entier naturel n non nul, calculer :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} min(i \, , \, j) \)
Pour tout entier naturel n non nul, calculer :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} max(i \, , \, j) \)
En déduire la double somme suivante en utilisant la vidéo ci-dessus (double somme des min) :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} |i – j| \)
Pour tout entier naturel n non nul, calculer :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \frac{i}{i + j} \)
Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a1, a2, a3 et a4 sont des réels :
a1 + a2 + a3 + a4
a1a2 + a2a3 + a3a4
a1 + a1a2 + a1a2a3 + a1a2a3a4
a1a2a3 + a2a3a4
a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4
a1(a1+a2)(a1+a2+a3)(a1+a2+a3+a4)
1) Montrer que pour tout triplet d’entiers naturels r, m et n :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} m + n \\ r \end{pmatrix}\, = \sum_{k = 0}^{r} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} m \\ r – k \end{pmatrix} \)
2) En déduire que :
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}\, = \sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^2 \)
Calculer les sommes suivantes :
\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{7} cos(\frac{k \Pi}{8}) \)
\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{7} cos^2(\frac{k \Pi}{8}) \)
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