Calculs avec le signe somme et produit

Sommaire

Avec le binôme de Newton
Calcul d’une somme télescopique double
Une somme télescopique classique
Un produit télescopique
Inverser les indices avec deux sommes
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
k parmi n pour k pair et impair
Somme des k parmi n au carré
Double somme des min(i,j)
Double somme des max(i,j)
Double somme des i/(i+j)
Exprimer avec le symbole somme et produit
Identité de Vandermonde
Somme de cosinus

Calcul d’une somme télescopique double

Calculer la somme suivante :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)} \)

Une somme télescopique classique

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Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x différent et 0 et de -1 :

\(\displaystyle \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \)

En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de :

\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)} \)

Un produit télescopique

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Calculer, pour tout entier naturel n ≥ 2 :

\(\displaystyle P_n = \prod_{k=2}^{n} (1 – \frac{1}{k^2}) \)

Inverser les indices avec deux sommes

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Dans cet exercice, il s’agit d’inverser les indices dans les doubles sommes suivantes :

\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n a_{ij} \)

\(\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{ij} \)

\(\displaystyle \sum_{i = 0}^n \sum_{j = i}^m a_{ij} \, avec \, m \gt n \)

Calcul de la somme des k2

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)

Calcul de la somme des k cube

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 \)

k parmi n avec k pair et k impair

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Pour tout entier naturel n, calculer :

\(\displaystyle \displaystyle\sum_{k=0, k \, pair}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} \)

et

\(\displaystyle \sum_{k=0, \, k \, impair}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} \)

Somme des k parmi n au carré

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Pour tout entier naturel n, calculer :

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,^2 \)

en utilisant g(x) = xn × xn

Double somme des min(i ; j)

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Pour tout entier naturel n non nul, calculer :

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} min(i \, , \, j) \)

Double somme des max(i ; j)

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Pour tout entier naturel n non nul, calculer :

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} max(i \, , \, j) \)

En déduire la double somme suivante en utilisant la vidéo ci-dessus (double somme des min) :

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} |i – j| \)

Double somme des i/(i + j)

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Pour tout entier naturel n non nul, calculer :

\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \frac{i}{i + j} \)

Exprimer avec le symbole somme et produit

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Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a1, a2, a3 et a4 sont des réels :
a1 + a2 + a3 + a4
a1a2 + a2a3 + a3a4
a1 + a1a2 + a1a2a3 + a1a2a3a4
a1a2a3 + a2a3a4
a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4
a1(a1+a2)(a1+a2+a3)(a1+a2+a3+a4)


Identité de Vandermonde : démonstration

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1) Montrer que pour tout triplet d’entiers naturels r, m et n :

\(\displaystyle \begin{pmatrix} m + n \\ r \end{pmatrix}\, = \sum_{k = 0}^{r} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} m \\ r – k \end{pmatrix} \)

2) En déduire que :

\(\displaystyle \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}\, = \sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^2 \)

Somme avec des cosinus

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Calculer les sommes suivantes :

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{7} cos(\frac{k \Pi}{8}) \)

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^{7} cos^2(\frac{k \Pi}{8}) \)

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