Calculs avec le signe somme et produit

Sommaire

Avec le binôme de Newton
Calcul d’une somme télescopique double
Uune somme télescopique classique
Inverser les indices avec deux sommes
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
Exprimer avec le symbole somme et produit
Identité de Vandermonde

Calcul d’une somme télescopique double

Calculer la somme suivante :

Une somme télescopique classique

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Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x différent et 0 et de -1 :

En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de :

Inverser les indices avec deux sommes

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Dans cet exercice, il s’agit d’inverser les indices dans les doubles sommes suivantes :

Calcul de la somme des k2

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

Calcul de la somme des k cube

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

Exprimer avec le symbole somme et produit

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Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a1, a2, a3 et a4 sont des réels :
a1 + a2 + a3 + a4
a1a2 + a2a3 + a3a4
a1 + a1a2 + a1a2a3 + a1a2a3a4
a1a2a3 + a2a3a4
a1a2 + a1a3 + a1a4 + a2a3 + a2a4 + a3a4
a1(a1+a2)(a1+a2+a3)(a1+a2+a3+a4)


Identité de Vandermonde : démonstration

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1) Montrer que pour tout triplet d’entiers naturels r, m et n :

2) En déduire que :

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