Calculs avec le signe somme et produit

Sommaire

Avec le binôme de Newton
Calcul d’une somme télescopique double
Uune somme télescopique classique
Inverser les indices avec deux sommes
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
k parmi n pour k pair et impair
Somme des k parmi n au carré
Double somme des min(i,j)
Double somme des max(i,j)
Double somme des i/(i+j)
Exprimer avec le symbole somme et produit
Identité de Vandermonde
Somme de cosinus

Calcul d’une somme télescopique double

Calculer la somme suivante :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)}$

Une somme télescopique classique

Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x différent et 0 et de -1 :

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de :

$\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)}$

Inverser les indices avec deux sommes

Dans cet exercice, il s’agit d’inverser les indices dans les doubles sommes suivantes :

$\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n a_{ij}$

$\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{ij}$

$\displaystyle \sum_{i = 0}^n \sum_{j = i}^m a_{ij} \, avec \, m \gt n$

Calcul de la somme des k²

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

Calcul de la somme des k cube

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{n} k^3 = \( \frac{n(n + 1)}{2} \)^2$

k parmi n avec k pair et k impair

Pour tout entier naturel n, calculer :

$\displaystyle\sum_{k=0 \\ k \, pair}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

et

$\displaystyle\sum_{k=0 \\ k \, impair}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,$

Somme des k parmi n au carré

Pour tout entier naturel n, calculer :

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}\,^2$

en utilisant g(x) = xⁿ × xⁿ

Double somme des min(i ; j)

Pour tout entier naturel n non nul, calculer :

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} min(i \, , \, j)$

Double somme des max(i ; j)

Pour tout entier naturel n non nul, calculer :

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} max(i \, , \, j)$

En déduire la double somme suivante en utilisant la vidéo ci-dessus (double somme des min) :

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} |i - j|$

Double somme des i/(i + j)

Pour tout entier naturel n non nul, calculer :

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \displaystyle\sum_{j=1}^{n} \frac{i}{i + j}$

Exprimer avec le symbole somme et produit

Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a₁, a₂, a₃ et a₄ sont des réels :
a₁ + a₂ + a₃ + a₄
a₁a₂ + a₂a₃ + a₃a₄
a₁ + a₁a₂ + a₁a₂a₃ + a₁a₂a₃a₄
a₁a₂a₃ + a₂a₃a₄
a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + a₂a₃ + a₂a₄ + a₃a₄
a₁(a₁+a₂)(a₁+a₂+a₃)(a₁+a₂+a₃+a₄)

Identité de Vandermonde : démonstration

1) Montrer que pour tout triplet d’entiers naturels r, m et n :

$\displaystyle \begin{pmatrix} m + n \\ r \end{pmatrix}\, = \sum_{k = 0}^{r} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} m \\ r - k \end{pmatrix}\,$

2) En déduire que :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}\, = \sum_{k = 0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^2 \,$

Somme avec des cosinus

Calculer les sommes suivantes :

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{7} cos(\frac{k \Pi}{8})$

$\displaystyle\sum_{k = 1}^{7} cos^2(\frac{k \Pi}{8})$

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