Calculs avec le signe somme et produit

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Calcul d’une somme télescopique double
Uune somme télescopique classique
Inverser les indices avec deux sommes
Exprimer avec le symbole somme et produit

Calcul d’une somme télescopique double

Calculer la somme suivante :

$\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)}$

Une somme télescopique classique

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Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x différent et 0 et de -1 :

$\frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}$

En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la valeur de :

$\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)}$

Inverser les indices avec deux sommes

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Dans cet exercice, il s’agit d’inverser les indices dans les doubles sommes suivantes :

$\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n a_{ij}$

$\displaystyle \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{ij}$

$\displaystyle \sum_{i = 0}^n \sum_{j = i}^m a_{ij} \, avec \, m \gt n$

Exprimer avec le symbole somme et produit

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Exprimer avec les symboles ∑ et ∏ les expressions suivantes, où a₁, a₂, a₃ et a₄ sont des réels :
a₁ + a₂ + a₃ + a₄
a₁a₂ + a₂a₃ + a₃a₄
a₁ + a₁a₂ + a₁a₂a₃ + a₁a₂a₃a₄
a₁a₂a₃ + a₂a₃a₄
a₁a₂ + a₁a₃ + a₁a₄ + a₂a₃ + a₂a₄ + a₃a₄
a₁(a₁+a₂)(a₁+a₂+a₃)(a₁+a₂+a₃+a₄)

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