Polynésie 2007 exercice 1

Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d’un sac contenant exactement un jeton blanc et neuf jetons noirs indiscernables au toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie.
Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
– si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ;
– si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6 ;
A la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.

On note B l’événement « le jeton tiré est blanc » et G l’événement « le joueur gagne le jeu ».
L’événement contraire d’un événement E sera .
La probabilité d’un événement E sera noté p(E).

Partie A
1) Montrer que p(G) = 7/30. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

2) Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu’il a perdu ?

3) Un joueur fait quatre parties de façon indépendante.
Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à 10^-3 près.

4) Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,99 ?

Partie B
L’organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d’argent :
– chaque joueur paie 1 euro par partie ;
– si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 euros ;
– si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien.

1) On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l’issue d’une partie.
a) Donner la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
b) On dit que le jeu est favorable à l’organisateur si E(X) < 0
Le jeu est-il favorable à l’organisateur ?

2) L’organisateur décide de modifier le nombre n de jetons noirs (n entier naturel non nul) tout en gardant un jeton blanc.
Pour quelles valeurs de l’entier n le jeu est-il défavorable à l’organisateur ?

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