Antilles-Guyane 2010 exercice 4
Partie A
Soit g la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; + ∞[ par :
g(x) = x – xln(x)

1) Déterminer les limites de la fonction g en 0 et + ∞

2) Montrer que g est dérivable sur l’intervalle ]0 ; + ∞[ et que g'(x) = -ln x

3) Dresser le tableau de variations de la fonction g.

Partie B
Soit (u_n) la suite définie pour tout n ∈ N^* par u_n = eⁿ/nⁿ

1) Conjecturer, à l’aide de la calculatrice :
a) le sens de variation de la suite (u_n)
b) la limite éventuelle de la suite (u_n)

2) Soit (v_n) la suite définie pour tout n ∈ N^* par v_n = ln(u_n)
a) Montrer que v = n – n ln(n)
b) En utilisant la partie A, déterminer le sens de variation de la suite (v_n)
c) En déduire le sens de variation de la suite (u_n)

3) Montrer que la suite (u_n) est bornée.

4) Montrer que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

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