Partie A : ROC
Prérequis : on suppose connu le résultat suivant :
quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’, arg(z x z’) = arg(z) + arg(z’) à 2π près.
Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z’, on a : arg(z/z’) = arg(z) – arg(z’) à 2π près.
Partie B :
Dans le plan complexe, on considère A et B d’affixes respectives zA = 1-i et
zB = 2 + √3+ i
1) Déterminer le module et un argument de zA.
2) a) Ecrire zB/zA sous forme algébrique
b) Montrer que :
\(\displaystyle \frac{z_B}{z_A} = (1 + \sqrt{3}) e^{i\frac{\Pi}{3}} \)
c) En déduire la forme exponentielle de zB.
3) On note B1 l’image du point B par la rotation r de centre O et d’angle -π/6.
a) Déterminer l’affixe du point B1.
b) En déduire que le point B1 est le symétrique du point B par rapport à l’axe des réels.
4) Soit M un point du plan. On note M1 l’image du point M par la rotation r et M’ le symétrique du point M1 par rapport à l’axe des réels.
On désigne par (E) l’ensemble des points M du plan tels que M’ = M.
a) Montrer que O et B appartiennent à l’ensemble (E).
b) Soit M un point distinct du point O. Son affixe z est égale à
\(\displaystyle z = \rho e^{i\theta} \)
où ρ est est un réel strictement positif et θ un nombre réel.
Montrer que l’affixe z’ du point M’ est égale à
\(\displaystyle \rho e^{i(\frac{\pi}{6}-\theta)} \)
puis déterminer l’ensemble des valeurs du réel θ telles que M appartienne à l’ensemble (E).
c) Déterminer l’ensemble (E).
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