Exercices corrigés sur les limites de suites

Sommaire

Limites de suites
Théorème des gendarmes / d’encadrement
Le théorème du point fixe
Suite définie par une fonction

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Limites de suites

Calculer la limite des suites suivantes :

\(\textstyle u_n = -5n^3 + 2n\sqrt{n} – 8 \)

\(\textstyle u_n = \frac{3n^2 – 7n – 6}{7n + 5} \)

\(\textstyle u_n = \frac{n^2 + 3cos(n)}{-7n^2 + 2} \)

\(\textstyle u_n = 8(\frac{3}{5})^n \)

\(\textstyle u_n = -9(\frac{5}{2})^n \)

\(\textstyle u_n = 3(-\frac{1}{4})^n + 8n^5 \)

Théorème des gendarmes / d’encadrement

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Calculer les limites des suites suivantes :

\(\textstyle u_n = \frac{3n + cos(n)}{5n + 2} \)

\(\textstyle u_n = \frac{2sin(n)}{6n + 5} \)

\(\textstyle u_n = \frac{7 + 2(-1)^n}{n^2} \)

\(\textstyle f(x) = \frac{5cos(x)}{x^2 – 7} \)

Le théorème du point fixe

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Soit (un) la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n :

\(\textstyle u_{n + 1} = \frac{u_n}{1 + u_n} \)

On suppose que un > 0 pour tout entier naturel n.
1) Montrer que (un) est décroissante.
2) Montrer que (un) converge.
3) Calculer la limite de (un).

Suite définie par une fonction

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On définit la suite (un) par u0 = 0,7 et :

\(\textstyle u_{n + 1} = \frac{3u_n}{1 + 2u_n} \)

On pose également pour tout réel x :

\(\textstyle f(x) = \frac{3x}{1 + 2x} \)

1) Déterminer les variations de f
2) En déduire que pour tout x appartenant à [0 ; 1], f(x) appartient à [0 ; 1].
3) Montrer que pour tout entier naturel n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 1
4) Que peut-on en déduire pour la suite (un) ?

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