Pondichéry 2007 exercice 3

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

Montrer que f est dérivable sur [0 ; +∞[. Etudier le signe de sa dériée f ‘, sa limite éventuelle en +∞ et dresser le tableau de variations de f.

2) On définit la suite (u_n) pour tout entier naturel n par son terme général :

a) Justifier que, si n ≤ x ≤ n+1, alors f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n)
b) Montrer, sans chercher à calculer u_n, que pour tout entier naturel n : f(n+1)≤u_n≤f(n)
c) En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

3) Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F(x) = (ln(x++3))²

a) Justifier la dérivabilité sur [0 ; +∞[ de la fonction F et déterminer, pour tout réel x positif, le nombre F'(x)
b) On pose pour tout entier naturel n :

Calculer I_n

4) On pose, pour tout entier naturel n, S_n = u₀ + u₁ + … + u_n-1
Calculer S_n. La suite (S_n) est-elle convergente ?

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