Exercices sur les intégrales de Wallis

On définit les intégrales de Wallis de la manière suivante : ∀ n ∈ N:

déçu

1) Montrer que la suite (Wn)n ∈ N est bien définie et que ∀ n ∈ N :

déçu

En déduire W2.

2) Calculer W0 et W1 et montrer que la suite (Wn) est décroissante.

3) Exprimer, ∀ n ∈ N, Wn+2 en fonction de Wn.

4) ∀ p ∈ N, exprimer W2p et W2p+1 en fonction de p.

5) Montrer que Wn+1 est équivalent en +∞ à Wn (c’est-à-dire montrer que Wn+1 ~ Wn).

6) Montrer que la suite ((n+1)WnWn+1)n∈N est constante.

7) En déduire un équivalent simple de Wn en +∞ puis la limite de Wn.


Réponse à la question 2

Réponse à la question 3 – Retour à l’énoncé

Réponse à la question 4 – Retour à l’énoncé


Réponse à la question 5 – Retour à l’énoncé

Réponse à la question 6 – Retour à l’énoncé

Réponse à la question 7 – Retour à l’énoncé




4 réflexions sur “ Exercices sur les intégrales de Wallis ”

  1. Merci pour cette vidéo très très bien expliqué. J’ai cependant l’impression qu’il existe des milliers d’astuces et qu’on ne peut pas tous les anticiper.

  2. bonjour,
    et merci beaucoup pour ces vidéos très claires !

    pour la question 6), j’ai procédé un peu différemment , en raisonnant ainsi :
    si je multiplie un Wn avec son terme suivant W(n+1), cela revient à multiplier un terme d’indice pair avec le suivant d’indice impair.
    et donc, en utilisant les résultats de la question 4) :
    on pose n = 2p,
    on effectue W(2p)*W(2p+1)*(2p+1),
    et après simplification des expressions, on arrive bien à pi/2, constante.
    ce raisonnement tient-il la route ?
    merci 🙂

  3. Bonjour,

    Explications claires, précises et bien détaillées. Merci infiniment !

    Le professeur est un excellent pédagogue et on aimerait en rencontrer beaucoup comme lui…

    J’espère voir d’autres vidéos comme celles-ci.

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