Le théorème de Pythagore

Sommaire

Introduction
Le théorème de Pythagore
Réciproque du théorème
Contraposée du théorème
Exercices

Introduction

Le théorème de Pythagore est probablement un de ceux que les élèves connaissent le mieux. Enfin ils connaissent le nom, maintenant il s’agit de l’appliquer correctement…
Nous allons donc voir ici l’énoncé du théorème avec des exemples concrets, mais aussi la réciproque et la contraposée qui sont tout autant utilisées.
Le théorème (ainsi que la réciproque et la contraposée) vont te permettre de calculer des longueurs et de montrer qu’un triangle est rectangle (ou non).


Petit rappel avant de commencer : quand on parle du segment [AB], on met des crochets, quand on parle de la longueur AB, on ne met rien : AB.
Donc si le segment [AB] mesure 4 cm, on écrira AB = 4 cm, mais SURTOUT PAS [AB] = 4 cm.

Le théorème de Pythagore

Rentrons tout de suite dans le vif du sujet : l’énoncé du théorème de Pythagore est le suivant :


Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Oulalala qu’est-ce que c’est que ce charabia diras-tu ??

Commençons par le début : un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit, c’est-à-dire un angle de 90°.
L’hypoténuse est le côté opposé à cet angle droit. Les deux autres côtés sont…. les deux autres côtés :

Ici l’hypoténuse est le côté AB.

Reprenons maintenant le théorème : « le carré de l’hypoténuse » : AB2.
« les carrés des deux autre côtés » : AC2 et BC2.
« la somme des carrés des deux autre côtés » : AC2 + BC2.
Et comme on nous dit que c’est « égal » : AB2 = AC2 + BC2.

Le théorème de Pythagore peut donc s’écrire avec une égalité :


ATTENTION !!! Ce théorème n’est vrai que si le triangle est rectangle en A !!!
Si le triangle est rectangle en B par exemple comme le triangle ci-dessous, le théorème s’écrira :
AC2 = AB2 + BC2

On peut prendre évidemment d’autres lettres que A, B et C. Par exemple :

Le théorème s’écrit : EF2 = EG2 + FG2


Ce qu’il faut retenir, c’est que la longueur qui est « seule » (pas dans la somme) est l’hypoténuse, celle opposée à l’angle droit.


Il faut bien faire attention également qu’il y a une condition à l’application du théorème : il faut qu’il soit rectangle !!!
Généralement on te le dira dans l’énoncé, ou ce sera sous-entendu (tu auras par exemple un carré, donc un angle droit), ou bien tu auras d’abord à le démontrer avec les règles de géométrie.
Dans tous les cas, il faudra bien dire : « on sait que le triangle … est rectangle en … donc d’après le théorème de Pythagore : … » et là seulement tu pourras écrire ton égalité.

Bon c’est bien joli tout ça, mais à quoi ça sert ??
Et bien faisons un exemple !
L’énoncé est très simple : calculer la longueur KL du triangle rectangle suivant :

Ici on nous dit dans l’énoncé que le triangle est rectangle, le dessin nous indique que l’angle droit est en M.
Donc le triangle KLM est rectangle en M, donc d’après le théorème de Pythagore :
KL2 = KM2 + LM2
On sait que KM = 3 cm et LM = 4 cm, il suffit donc de remplacer :
KL2 = 32 + 42 (on ne met pas les unités)
KL2 = 9 + 16
KL2 = 25
KL = √25
KL = 5

Donc KL = 5 cm (ne pas oublier l’unité !! ici le cm car KM et LM sont en cm).

Comme tu le vois c’est très simple !


Petite remarque : n’oublie pas de prendre la racine pour « enlever » le carré à la fin du calcul

Autre exemple : calculer la longueur QR du triangle rectangle suivant :

Ici on nous dit dans l’énoncé que le triangle est rectangle, le dessin nous indique que l’angle droit est en R.
Ainsi le triangle PQR est rectangle en R, donc d’après le théorème de Pythagore :
PQ2 = PR2 + QR2
On sait que PQ = 15 et PR = 12, il suffit donc de remplacer :
152 = 122 + QR2
225 = 144 + QR2
QR2 = 225 – 144
QR2 = 81
QR = √81
QR = 9

Donc QR = 9.


Tu as remarqué qu’ici il n’y avait pas d’unité. Cela arrive, tout dépend de l’énoncé.
S’il n’y a pas d’unité : pas besoin de t’en préoccuper. Par contre s’il y a une unité n’oublie pas de la mettre !!

Fais ces exercices d’application directe du théorème de Pythagore pour être au top !

Réciproque du théorème

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En plus du théorème de Pythagore, il y a sa réciproque, c’est-à-dire que l’on va aller dans l’autre sens : on va montrer qu’un triangle est rectangle à partir des mesures des côtés d’un triangle.

L’énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore est le suivant :


Dans un triangle, si le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des 2 autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Expliquons cette réciproque avec un exemple, prenons le triangle EFG suivant :

On va calculer SÉPARÉMENT EF2 d’un côté, et EG2 + GF2 d’un autre côté.

EF2 = 52 = 25

et EG2 + GF2 = 32 + 42 = 9+16 = 25

Donc EF2 = EG2 + GF2

Ici EF2 représente « le carré d’un côté », et EG2 + GF2 représente « la somme des carrés des 2 autres côtés ». Et on vient de montrer que c’était « égal ».
Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est un triangle rectangle.

Comme tu le vois rien de bien méchant, mais nous allons revenir sur certains points importants.

Tout d’abord le choix des côtés : pourquoi a-t-on calculé EF2, et non pas EG2 ou FG2 ?
Tout simplement parce que c’est le plus grand des 3 côtés, car l’on a vu dans le théorème de Pythagore que le côté « seul » était l’hypoténuse, donc le plus grand.


Le côté au carré que l’on calcule « seul » est donc le côté le plus grand.

Ensuite, il est très important d’effectuer les deux calculs SÉPARÉMENT !!
En effet, dans l’exemple on veut MONTRER QUE EF2 = EG2 + GF2, c’est la conclusion, donc on ne part pas de cette égalité puisqu’on ne sait pas si elle est vraie, on veut le démontrer.
On calcule donc d’abord EF2 puis EG2 + GF2.
Rien ne t’empêche de faire les calculs au même niveau, c’est ce que nous ferons dans le prochain exemple

Dernière remarque : la conclusion est que le triangle est rectangle. Oui, mais en quel point ???
Et bien dans l’exemple EF est le côté le plus grand donc l’hypoténuse, donc l’angle droit est en face, en G.
Rien n’empêche donc de dire dans la conclusion « donc le triangle EFG est rectangle en G », c’est même beaucoup mieux de le dire !!

Voyons maintenant un exemple avec la rédaction : montrons que le triangle PQR suivant est rectangle :

PQ2 = 102 et PR2 + RQ2 = 62 + 82
PQ2 = 100 et PR2 + RQ2 = 36 + 64
PQ2 = 100 et PR2 + RQ2 = 100

Donc PQ2 = PR2 + RQ2

Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQR est rectangle en R.

Comme tu le vois c’est assez rapide finalement !
Petite remarque : ici on a fait les 2 calculs l’un à côté de l’autre (PQ2 et PR2 + RQ2) mais séparés par « et ». Et c’est uniquement quand on a fini le calcul et que l’on arrivait au même résultat que l’on a dit que c’était égal.

Cependant, il arrive qu’à la fin du calcul on ne trouve pas la même chose, donc ce n’est pas égal et on ne peut pas appliquer le théorème, et le triangle n’est pas rectangle !!!
C’est pour cela qu’il existe la contraposée que l’on va examiner de plus près

Avec ces exercices d’application directe de la réciproque de Pythagore cela n’aura plus de secret pour toi !

Contraposée du théorème

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La contraposée du théorème de Pythagore peut s’énoncer de la manière suivante :


Dans un triangle, si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des 2 autres côtés, alors le triangle n’est pas rectangle.

Avec ce sera tout de suite plus parlant

Le triangle IJK suivant est-il rectangle :

Le début va être exactement pareil que pour la réciproque :
JK2 = 92 et JI2 + IK2 = 52 + 82
JK2 = 81 et JI2 + IK2 = 25 + 64
JK2 = 81 et JI2 + IK2 = 89

Donc JK2 ≠ JI2 + IK2

Donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle IJK n’est pas rectangle.

Comme tu le vois c’est exactement pareil que pour la réciproque, sauf qu’à la fin du calcul on se rend compte ce n’est PAS égal.
Donc on pense bien à utiliser la CONTRAPOSÉE et non la RÉCIPROQUE. Et bien sûr la conclusion est que le triangle n’est PAS rectangle.


ATTENTION !! Tout comme pour la réciproque, le côté au carré que l’on calcule seul est le plus grand…

Maintenant que l’on a vu le théorème, sa réciproque, et sa contraposée, on va pouvoir passer aux exercices

Ces exercices d’application directe de la contraposée de Pythagore devraient grandement t’aider !


Exercices

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Les vidéos d’exercices sur le théorème de Pythagore sont disponibles en cliquant ici !

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