Exercices sur la récurrence

Sommaire

Exemple classique
Une somme simple
Calcul de la somme des k carré
Calcul de la somme des k cube
Récurrence avec une inégalité
Récurrence avec une conjecture
Récurrence double
Récurrence forte
Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte
Récurrence avec une fraction
Raisonnements plus complexes

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Exemple classique

Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout entier naturel n, un+1 = 3un + 8.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 9 x 3n – 4

Une somme simple

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Montrer que pour tout n > 0 :

Calcul de la somme des k2

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

Calcul de la somme des k cube

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Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul :

Récurrence avec une inégalité

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On pose v0 = 0 et pour tout entier naturel n :

Montrer que pour tout entier naturel n, 0 ≤ vn ≤ 4.

Récurrence avec une conjecture

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On pose u0 = 0 et pour tout entier naturel n :

Conjecturer l’expression de un en fonction de n et la démontrer par récurrence.

Même question avec u1 = 1 et pour tout entier naturel n non nul : un+1 = un + 2n + 1

Récurrence double

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On pose u0 = u1 = 1 et pour tout n ≥ 0 :

Montrer que pour tout n ≥ 0 : un = n2 – n – 1

Récurrence forte

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On pose u1 = 3 et pour tout n ≥ 1 :

Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un = 3n.

Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte

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1) Montrer que pour tout i ≤ k ≤ n + 1 :

2) Montrer que que les propositions suivantes sont équivalentes :

C’est-à-dire montrer que

formule d'inversion de Pascal

Raisonnements plus complexes

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Soit (un) la suite définie par u0 = 2 et pour tout entier naturel n,

Montrer que pour tout entier naturel n :

Raisonnements plus complexes

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Nous allons montrer 3 propriétés par récurrence :
1)

2)

3)

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