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La fonction ln

Sommaire

Généralités
Limites
Lien avec la fonction exponentielle
Dérivée
Intégrale
Intérêt de la fonction ln

Introduction



Nous allons voir dans ce cours une fonction importante : la fonction ln.
On note ln(x) et on prononce « hélène de x », comme le prénom !

Généralités



Commençons par tracer la courbe de la fonction :




A partir de la courbe on peut voir pas mal de choses intéressantes.

Tout d'abord, on voit que la fonction n’est définie que sur ]0 ; +∞ [ !! Donc ln(-4) n’existe pas ! Mais ln(5) existe.

Ensuite, au niveau du signe de la fonction, on voit qu’elle est négative jusqu’à 1, puis postive, donc

Et en 1 ? Et bien ça vaut 0 :

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Attention ! Beaucoup d'élèves disent ln(0) = 1, ce qui est archi-faux ! Ils confondent avec la fonction exponentielle, où là oui e0 = 1, mais pour la fonction ln c'est l'inverse, c'est ln(1) = 0
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Par ailleurs, la fonction ln est STRICTEMENT CROISSANTE. On va également s'en servir par la suite.

La fonction ln a également d'autres propriétés à connaître :









Par exemple :











La dernière formule peut-être utile quand on a une équation dont l'inconnue est en esposant :









Ce genre de cas se retrouve surtout en probabilités, pense donc à utiliser la fonction ln dans les équations (ou même les inéquations) quand l'inconnue est en exposant.

Tu remarqueras que les propriétés ressemblent fortement aux propriétés avec les arguments dans le chapitre des complexes.
Si tu ne l'a pas encore vu ce n'est pas grave, tu le verras plus tard^^.

Limites

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Parlons limite maintenant !
On voit facilement avec la courbe que :





La seule difficulté ici, c'est quand on a des fonctions composées, mais cela reste assez simple !
Voici quelques exerccies sur les limites de fonctions composées pour s'entraîner.

De plus, il faut connaître deux limites particulières :





Normalement ces deux limites sont des formes indéterminées, ce pourquoi il faut les apprendre par coeur. Mais il y a un moyen simple de les retenir : tu fais comme si il n'y avait pas ln(x), mais seulement x !





Cela vient du fait que x "domine" ln(x), c'est-à-dire que ln(x) est négligeable devant x, ce pourquoi on fait comme si il n'y avait pas ln(x).

On retrouve la même propriété pour la fonction exponentielle, sauf que là c'est x qui est négligeable devant ex, donc on fait comme si il n'y avait pas de x.

A noter que ces propriétés sont vraies pour toutes les puissances de x, donc x2, x3, x4, x5...
Exemple :









Lien avec la fonction exponentielle

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Voyons à présent une fonction que l'on trouve souvent avec ln : la fonction exponentielle !
Pour plus de précisions sur cette fonction, va voir le cours sur la fonction exponentielle
Mais quel est le rapport avec exponentielle ?
Et bien tout simplement :



De même




Les deux fonctions "s'annulent" entre elles. C'est ce qu'on appelle des fonctions réciproques.
D'accord c'est bien beau tout ça mais ça sert à quoi ?
A plein de choses ! Notamment à résoudre des équations ou inéquations avec des exponentielles .

Par exemple, si on veut résoudre :



on applique la fonction ln, et on ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction ln est croissante !!!!!





de même, si on a



on applique la fonction exponentielle, et on ne change pas le sens de l'inégalité car la fonction exp est croissante !!!!!





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ATTENTION ! Note bien qu'il faut absolument justifier comme on vient de le faire en disant que la fonction ln ou exponentielle est croissante, il serait bête de perdre des points à cause de ça, surtout que les professeurs adorent quand tu justifies, mais détestent quand tu ne justifies pas
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Comme tu le vois, c'est très simple ! Entraîne toi avec ces exerccies sur les inéquations

Dérivée

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La dérivée de ln n'est malheureusement pas aussi simple que celle de exponentielle, mais elle reste assez facile^^
La dérivée de ln(x) est 1/x :



Jusque-là c'est simple, mais il faut faire cependant attention aux fonctions composées !! Si tu n'en t'en souviens plus, va voir le chapitre sur les dérivées composées.
Regardons quelques exemples :
g(x) = ln(x3 - 9x + 4), c'est une fonction composée : ln(u), avec u = x3-9x + 4

La dérivée de ln(u) est u'/u :



Ici u' = 3x2 - 9, donc



C'est comme d'habitude, on dérivé normalement et on multiplie par u' ! Rien de méchant
Rappelle toi juste que la dérivée de ln(u) est u'/u ! Avec le temps et quelques exerccies sur les dérivées composées ça deviendra tout naturel

Intégrale

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La primitivede ln(x) est xln(x) - x. Cependant, en terminal tu n'as pas à le savoir, nous ne ferons donc pas d'exercices particuliers là-dessus.
En revanche, la fonction ln peut se retrouver dans des intégrales composées !

En effet, d'après le cours sur les intégrales et primitives, on sait que la primitive de u'/u est ln(u) !!



Voyons un petit exemple :



Si on pose u = x4 - 2x + 5, on a u' = 4x3 - 2.
Au numérateur, on a 2x3 - 1, ce n'est donc pas u', mais ça ressemble beaucoup !
En effet, u' = 4x3 - 2 = 2 × (2x3 - 1) !!

Ainsi il faudrait faire apparaître un 2 au numérateur.
Comment on fait ? Ba on multiplie par 2 en haut et en bas !

On a donc



Il n'y a que le 2 du haut qui nous intéresse, pas celui du bas, et comme c'est une constante, on peut le sortir de l'intégrale !
D'où



et là on a bien u' /u !!
On peut alors utiliser le fait que la primitive de u'/u est ln(u) :










car ln(b) - ln(a) = ln(b/a)

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Attention, ne pas oublier le 1/2 devant l'intégrale !! Il faut sortir les constantes qui ne servent pas à calculer la primitive comme le ½ ici par exemple, mais il ne faut pas oublier de les mettre dans la suite du calcul !!
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Comme tu as bien appris ta leçon, nou allons te proposer non pas une mais DEUX vidéos
La première comporte des intégrlaes où ln est la primitive, tandis que dans la deuxième, ln est à la fois dans l'intégrale et dans la primitive.
Nous avons regroupé ces 2 vidéos sur la même page, donc n'oublie pas qu'il y a une autre vidéo en-dessous de la deuxième

Intérêt de la fonction ln



Bon et bien voilà, c'est tout ce que tu as à savoir sur la fonction ln ! Il faut surtout retenir ses propriétés avec les calculs, car on retrouve souvent cette fonction dans les intégrales, les études de fonctions, les exercices avec exponentielle...

Le principal intéret de la fonction ln est d'être la fonction récipropque de exponentielle, qui est une fonction fondamentale, surtout en physique ! Tu es donc susceptible de la rencontrer souvent^^



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