Les limites

Sommaire

Notion de limite
Calcul de limites
Limite de somme, produit et quotient
Limite en un point et signe de la limite
Formes indéterminées
Théorème du plus haut degré
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Asymptotes
Compléter un tableau de variations
Intérêt des limites

Introduction
La limite est une notion nouvelle en 1ère, mais c’est assez simple, il suffit de connaitre quelques règles.
Retiens bien ce qui suit car on se sert très souvent de la limite, notamment dans les études de fonctions.

Notion de limite
La limite d’une fonction, c’est en gros « vers quoi tend » la fonction.
Le plus simple est de prendre un exemple : la fonction inverse :

On voit bien que quand x tend vers +∞, la fonction « tend » vers 0, c’est-à-dire qu’elle se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais la toucher.
Et bien on appelle cela une limite, puisque la fonction « tend vers » quelque chose.
On note cette limite de la façon suivante :

Et on prononce cela « limite quand x tend vers plus l’infini de 1 sur x égal 0 ».

Pour l’instant retiens juste la notation et cette notion de « tendre vers », de toute façon au fur et à mesure de la leçon tu assimileras de mieux en mieux le concept de limite avec les exemples.

Calcul de limites

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Nous allons maintenant voir comment calculer des limites.
Déjà une limite peut se calculer pour tous les x, c’est-à-dire que le x peut tendre vers -∞, -9, 4, ½, π, 0, +∞, etc…

En gros, pour calculer une limite, on remplace le x dans la fonction par vers quoi il tend.
Exemple :
Si on veut calculer :

Et bien on remplace tout simplement le x par 4 :

Un autre exemple :

Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté, on remplace le x et on calcule !

Bon ça ce sont des cas simples, mais ce n’est pas tout le temps comme ça.
Reprenons notre exemple de tout à l’heure :

On devrait écrire :

Oui mais

CE N’EST ABSOLUMENT PAS MATHEMATIQUE !!!

Il ne faut JAMAIS écrire 1/∞ dans une copie, ce sera immédiatement rayé par le correcteur !!

En revanche sur un brouillon tu peux tout à fait l’écrire.
De même, si on cherche la limite en 0, on devrait écrire :

Or tu sais très bien qu’ON NE DIVISE JAMAIS PAR 0 !!!
Il est également absolument faux d’écrire 1/0, n’écris jamais ça dans ta copie !!

Alors comment faire ?
Et bien c’est simple, il y a 2 formules à retenir, mais au brouillon, IL NE FAUT SURTOUT PAS LES ECRIRE SUR UNE COPIE :

Ces formules sont très simples à retenir :
Pour la 1ère, c’est comme si tu avais un gâteau que tu divisais en une infinité de part. Tu peux donc imaginer que les parts seront microscopiques, ce qui donne 0.
Pour la 2ème, c’est comme si tu avais un gâteau que tu divisais en faisant des parts minuscules, tu auras donc une infinité de part, d’où l’infini.

Tu as remarqué que nous n’avons pas précisé +∞ ou -∞, nous avons juste mis ∞. Nous reviendrons plus tard sur ce détail de signe, tu verras que c’est très simple.

Ainsi, on écrit directement :

car on sait que 1/∞ = 0, mais ça c’est dans ta tête ou sur le brouillon que tu l’écris, pas sur ta feuille…

Evidemment tu auras des fonctions plus compliquées que 1/x, nous allons maintenant voir comment s’en sortir.
Ne t’inquiète pas, nous ferons des exemples plus tard

Limite de somme, produit et quotient

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Quand on a une somme de 2 fonctions c’est très simple : on additionne les limites !
Généralement il n’y a pas de souci, et souvent les limites se « simplifient ».
En effet, si f tend vers +∞ et g vers 4 par exemple, f + g tendra vers +∞, le 4 étant négligeable.

Pour les produits et les quotients c’est pareil, on multiplie les limites des 2 fonctions et on les divise les limites des 2 fonctions !

Il y a cependant quelques règles simples à retenir un peu comme 1/0 = ∞ et 1/∞=0 :


avec l réel DIFFERENT DE 0 !!

Toutes ces règles sont extrêmement logiques en y réfléchissant un peu. Tu n’es donc pas obligé de les apprendre par coeur, essaye plutôt de comprendre la logique de ces formules.

Nous t’expliquons la logique dans cette vidéo sur les limites où il y a plein d’exemples pour t’habituer à en calculer.

Limites en un point et signe de la limite

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Tu as remarqué que parfois nous n’avons pas parlé du signe de la limite, nous avons laissé ∞ sans préciser + ou -.

En fait c’est comme pour un calcul normal, on applique la règle des signes !!

Exemple : on veut calculer

Ca devrait donner 1/0, et donc l’infini.
Oui mais + ou – ??
Et bien tout dépend si le 0 est positif ou négatif… mais on sait que le 0 n’est ni positif ni négatif !
Mais comment va-t-on faire ??

En fait, ce n’est pas vraiment 0, c’est le x qui tend vers 0. Tout dépend alors si le x tend vers 0 en venant des valeurs négatives ou positives :

On voit que le x peut tendre vers 0 de 2 manières : par valeurs négatives (en venant de la gauche) ou positives (en venant de la droite).
Il y a donc 2 cas à traiter, qui s’écrivent de la manière suivante :


et

On rajoute x > 0 si x tend vers 0 par valeurs positives, et x < 0 si x tend vers 0 par valeurs négatives.
On écrit également :


et

Cela revient au même, 0+ signifie x > 0, et 0 signifie x < 0.

Et là on peut calculer :


car 1 et 0+ sont positifs

car 1 est positif et 0 négatif, donc c’est négatif

Comme tu le vois il suffit d’appliquer la règle des signes !!
Evidemment il ne faut PAS écrire

sur la copie, ici c’est juste pour t’expliquer !!
Comme tout à l’heure tu donnes directement le résultat : +∞ ou -∞.
A noter que ceci est bien cohérent avec le graphique de la fonction inverse ci-dessus (heureusement !!).

Evidemment, on peut faire de même pour


ou

puisqu’à chaque fois le dénominateur vaudra 0.

Enfin une dernière remarque, cette histoire de 0+ et 0 peut également s’appliquer à la limite elle-même.
Tout à l’heure, on a dit que :

En fait on pourrait aller plus loin en disant que

Cela nous permettrait de calculer :


et

Ceci est bien cohérent avec la courbe de la fonction inverse, puisqu’en -∞ la fonction est sous l’axe des abscisses, donc négative (d’où le 0 ), alors qu’en +∞ la fonction est au-dessus de l’axe des abscisses, donc positive (d’où le 0+ )

Il est évident que ce n’est qu’avec l’entraînement que tout ceci te paraîtra simple, il y a beaucoup de nouvelles choses pour toi dans ce cours (et ce n’est pas fini !), ce pourquoi quelques exercices en vidéo sur ce qu’on vient de voir ne seront pas de trop


Formes indéterminées

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Malheureusement ce n’est pas toujours aussi simple, il y a parfois ce qu’on appelle des formes indéterminées, souvent notées FI.
On est dans ce cas quand on a par exemple une somme de fonctions, l’une tendant vers +∞, l’autre vers -∞.

Ca nous donnerait +∞ + (-∞), mais quel est le résultat ??
Et bien on ne sait pas, cela ne correspond à aucune formule précédente : c’est une forme indéterminée.

Il y a en tout 4 formes indéterminées :

Quand on tombe sur une forme de ce type, on ne peut pas calculer la limite.
Mais cela ne veut pas dire qu’il n’y a pas de limite !!

Pour calculer ces limites, il faut appliquer d’autres théorèmes ou astuces, que l’on va voir tout de suite.

Théorème du plus haut degré

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Quand on a des polynômes, on peut tomber sur des formes indéterminées.
Exemple :


c’est une forme indéterminée

Alors comment faire ?
Et bien c’est très simple :

Exemples :



Comme tu le vois c’est extrêmemt simple


ATTENTION !! Ceci n’est valable que quand x tend +∞ ou -∞ !!!

L’intérêt, c’est que ce théorème marche aussi pour les fractions rationnelles !!! Ce qui permet grandement de simplifier les problèmes.
On rappelle que les fractions rationnelles sont des fractions avec un polynôme au numérateur et un autre polynôme au dénominateur.
Exemples :


Attention ! Il faut absolument laisser les coefficients des termes du plus haut degré !!
Dans le derneir exemple, c’est le 8 du 8x7 et le -9 du -9x5.
En effet, on remarque dans cet exemple qu’ils ont une influence avec leur signe, puisqu’à la fin on applique la règle des signes.
Dans l’exemple, le 8x2 tend vers +∞, mais le -9 fait changer le signe et le résultat est donc au final -∞.

Une fois de plus, bien faire attention que ce résultat n’est vrai que en +∞ ou -∞ !!

Il faut que tu saches également qu’il y a une autre technique pour calculer les limites des fractions rationnelles : on factorise par le plus haut degré !
Reprenons un des exemples précédents :


On voit ici tout l’intérêt de factoriser : on se retrouve avec plein de fractions qui tendent vers 0 !!
En effet :

Et on a donc :

ce qui est exactement le résultat que l’on avait obtenu avec le théorème du plus haut degré.

Evidemment, il ne faut pas factoriser mais appliquer le théorème du plus haut degré directement, mais parfois on te demande explicitement d’appliquer cette méthode.

Ces exercices sur le théorème du plus haut degré te permettront d’être au top à ce niveau-là

Théorèmes de comparaison et des gendarmes

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Les théorèmes de comparaison sont très simples car, comme beaucoup de choses avec les limites, c’est très logique !

On suppose que l’on a 2 fonctions f et g telles que :

On a alors :

Ce qui est normal, puisque g est plus grand que f qui tend +∞, et plus grand que +∞ c’est… +∞ !

De même :

Pour la même raison : puisque f est plus petit que g qui tend -∞, et plus petit que -∞ c’est… -∞ !

Le a peut être n’importe quoi, un réel comme +∞ ou -∞.

Dans le même ordre d’idée, il est possible de passer à la limite dans une inégalité :


alors

Et enfin, une dernière chose qui y ressemble : le théorème des gendarmes !
C’est très simple :


et si

alors

Ce qui est logique puisque f est compris entre h et g qui tendent tous les 2 vers k, donc il est un peu obligé de tendre vers k…


ATTENTION !! Il faut bien que h et g tendent vers la même limite…

Remarque : cela s’appelle le théorème des gendarmes car f est compris entre h et g comme si c’était un prisonnier encadré par 2 gendarmes… mais ça n’a aucune importance de savoir ça, c’est juste pour que tu saches d’où ça vient^^

Asymptotes

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Il y a une dernière application importante des limites : les asymptotes.

Déjà, qu’est-ce-qu’une asymptote ?
C’est une droite vers laquelle tend une fonction, autrement dit la fonction va longer la droite dans une certaine zone.
Reprenons l’exemple de la fonction inverse :

On voit clairement qu’en 0, la courbe tend vers l’axe des ordonnées, qui est une droite d’équation x = 0.
Cette droite d’équation x = 0 est donc une asymptote.

De même en +∞ et en -∞, la courbe de 1/x tend vers l’axe des abscisses, qui est une droite horizontale d’équation y = 0.
Cette droite d’équation y = 0 est donc également une asymptote.

Il peut donc y avoir des asymptotes horizontales ou verticales, mais il peut aussi y avoir des asymptotes obliques !!

En -∞, on voit qu’il y a une asymptote horizontale d’équation y = -3.
Mais en +∞, il y a une asymptote OBLIQUE, d’équation y = 4x – 7. On voit bien en effet que la courbe f en bleu va longer la courbe verte et s’en rapprocher de plus en plus.

Bon c’est bien joli tout ça mais un graphique n’a jamais été une démonstration, il faut maintenant voir comment prouver mathématiquement qu’une droite est asymptote à une fonction.

Il y a alors 3 formules à connaître, une par type d’asymptote :

—————————————————————————————–

Asymptote horizontale


alors

On a évidemment la même propriété en -∞.

—————————————————————————————–

Asymptote verticale


alors

Le x0 peut être n’importe quel réel mais pas +∞ ou -∞ !!

—————————————————————————————–

Asymptote oblique


alors

Là aussi on a la même propriété en -∞.

—————————————————————————————–

Avec l’habitude ces formules te sembleront évidentes, ce pourquoi l’entraînement est très important, comme pour toutes les prorpiétés que l’on a vu précédemment.
Ces exercices sur les asymptotes te permettront de te familiariser un peu plus avec cette dernière notion.

Compléter un tableau de variations

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Ici nous n’introduirons pas de nouvelles formules rassure-toi
Nous te signalons juste que les limites permettent de compléter les tableaux de variations.

Prenons par exemple le tableau de variation de f(x) = x2 -4x + 3 :

Normalement tu as déjà l’habitude de compléter avec les valeurs comme ici le -1 car f(2) = -1.
Mais en +∞ et -∞ ?
Il ne faut bien sûr par mettre f(+∞) et f(-∞), ce n’est mathématiquement pas correct.
A la place, on va mettre… la limite de f en +∞ et -∞ !!

Or


et

Il ne reste plus qu’à compléter :

Voilà c’est tout, il n’y a aucune difficulté à ce niveau-là


Une dernière remarque avant de clore le chapitre : une limite n’existe pas toujours !!
Prenons par exemple :

Et bien cette limite n’existe pas, il n’y a qu’à penser à la courbe de la fonction cosinus (en gros des vagues) pour voir que la fonction ne tend vers rien du tout.

Intérêt des limites
Comme on l’a vu, les théorèmes sur les limites sont simples car ils sont très logiques, on peut les retrouver facilement si on les a oubliés.

Au-delà des asymptotes ou du tableau de variation, les limites peuvent etre utiles pour regarder le comportement d’une fonction en un certain point ou en l’inifini.
Si on a un phénomène physique qui peut etre modélisé par une fonction, calculer des limites peut permettre d’analyser et de prévoir le comportement de cette fonction à une certaine période, ou dans une zone spécifique, etc…

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115 réflexions sur “ Les limites ”

  1. Bonjour,
    En tout cas suis très content de ce chapitre parce que les explications données m’ont beaucoup aidé mais je constate que presque tout le calcul de limite donne soit les infinis soit 0. comment je peux avoir aussi les notes sur les intégrales?

  2. Bonjour,

    Serait il possible d’avoir des exemples de limite avec e ??

    Par exemple
    lim de x tend vers + l’infinie e – x (x + 2) 2 = 0 ; en déduire
    lim de x tend vers + l’infinie f (x)

    merci

    1. Non , le X au carré l’emporte sur le -4X
      100000000 au carré = 100000000000000000
      -4 × 1000000000 = -400000000
      10000000000000000-400000000= qqch de très grands

  3. Vous avez dit que 1/∞+=0+, mais si on avait -1/∞+ est-ce que ce serait toujours égal à 0+ ou alors on appliquerait la règle des signes et ce serait égal à 0- ?

    1. La règle des signes s’applique évidemment donc ce sera 0- !
      Je fais remarquer d’ailleurs qu’il faut justement bien faire attention à appliquer la règle des signes dans un quotient ou un produit^^

  4. Bonjour!
    l’explication etait bien claire au début sauf que vers la fin j’ai perdu idée, en fait j’y comprend plus trop la façon de tracer les courbes.

    plus d’explications svp
    merci

  5. Bonsoir, je voudrais savoir une chose.
    sur le chapitre des fractions rationelles avec le théorème de limite avec le terme du plus haut degré, la lim avec x tend vers +infini, la réponse de la fraction 1/9x³ n’est-elle pas 0+?
    et pour la fraction ou 8x² / -9 la réponse n’est-elle pas 0- au lieu de -infini?
    j’aimerais comprendre et assimiler tout ca, merci bien.
    Cordialement,
    Byakuren.

    1. Pour 1/9x³ c’est en effet 0+ mais je n’ai mis que 0, ça ne change rien car on ne réutilise pas le résultat par la suite.
      8x² / -9 c’est bien -infini car le x tend vers -infini, au carré cela donne +infini, fois 8 cela reste +infini, et divisé par 9 cela devient -infini !

  6. C’est super les encouragements de type « tu vas voir c’est très simple…! » ou alors  » Ne t’inquiètes pas tu comprendras très bien plus bas… » en plus de la synthèse qui est vraiment clair et concise. C’est très agréable, Merci beaucoup ))°

  7. J’adore votre manier d’explique, c’est une manieur amisante, donc on etudie et on s’amuse aussi, c’est vraiment shuet!!! je kiff trop

  8. Merci beaucoup! Ayant était absent à plusieurs cours de maths j’était perdu pour ce chapitre mais grâce à ce cour j’ai tout compris . Vraiment merci pour ce cours super bien expliqué 🙂

  9. Je suis content de ce chapitre qui ma permis de bien comprendre les limites car c’est la base pour la suite des programmes en math je suis content.

  10. J’ai énormément aimé cette « article » et cela m’as aidé dans de nombreux exo mais j’ai un énorme problème je n’ arrive pas à résoudre ça:
    Déterminer la limite : ((1+h)^2016 -1 ) / h

    Merci beaucoup !

  11. Bonne année 2017 à tous!

    Merci pour ces explications très pédagogiques.
    Dans votre post du 1er juin 2016 à 13 h, vous répondiez:
    « Pour 1/9x³ c’est en effet 0+ mais je n’ai mis que 0, ça ne change rien car on ne réutilise pas le résultat par la suite. »
    Quand faut-il alors préciser le 0+ et le 0-?

    Merci d’avance

    1. Merci à toi ! Il faut préciser si jamais si tu réutilises la résultat par la suite, ce qui peut arriver si tu as une fonction composée par exemple.

  12. Très bien expliqué rien à dire je comprends mieux la leçon que le prof nous a fait notre prof explique très bien merci continuer vos explications avec des exemples car je prépare un Daeu B

  13. Merci beaucoup!! Grâce à ce cours sur les limites je suis certaine de réussir mon contrôle et remonter un peu ma moyenne :)) C’est énorme!! MERCI je vous aime..

  14. C’est vraiment important.
    le site a beaucoup d’avantage pour ce qui ce sens un peu nul en maths. Merci beaucoup vraiment pour l’explication

  15. Bonjour,

    Alors tout d’abord merci beaucoup, je me sers de vos formidables cours sans vous remercier alors que vous faites un travail drastique et remarquable!!!!!!!!!!!!
    Franchement, bravo et surtout merci!!!!!!!

    J’ai ne petite remarque cependant, certes pas sur le cours lui-meme, mais sur la presentation sur le site.
    Serait-il possible de « cacher » les commentaires, qui, sur cette page par exemple, representent la moitie du contenu, afin de ne peut-etre pas effrayer d’eventuels nouveaux utilisateurs?
    Parce que je trouve reellement dommage que certains auraient peut-etre evite de profiter de vos excellentes explications, simplement pour cette raison!

    Mais peut-etre est-ce impossible, dans ce cas c’est dommage, mais cela n’ote absolument rien a la clarte de vos explications.

    Donc a nouveau merci!

    Signe: Une personne qui aura son bac, sans doute et entre autres grace a vous. 🙂

  16. C’est clair et fluide et trop beau et facile à comprendre pour être à 100% à même d’affronter des limites. Dans ce sens, en classe on a distinguées trois formes de limites dont 1/x ; 1/x^2 et 1/racine de x. Comment faire?

  17. Macha allah!! Très bonne explication ,ça va trop m’aider merci beaucoup a vous !
    Vous mérité beaucoup de mérite .Que Dieu vous bénisse amine
    Et je serai très content de recevoir cela dans mon Email .
    Merci infiniment !

  18. Merci pour les explications simplifiées. Je n’ai pas bien compris comment extraire l’équation des asymptotes, mais je pense y parvenir en m’exerçant.

  19. Bonjour !
    Merci pour vos explications !
    Ceci dit, di je commence à pouvoir calculer les limites, je n’ai toujours pas compris à quoi cela servait.
    Pouvez-vous donner quelques exemples issus de « la vie de tous les jours » ?
    Mille mercis !

  20. salut à tous l’equipe, je vous remerci de votre explication vraiment ce fut pour moi une agréable revision. est-ce possible d’avoir des explications sur l’integale? merci.

  21. Merci pour le cours c hyper explicite ‘ donc okii j’ai une question … Quels sont les différentes façon que je peux employer pour lever l’indétermination d’une fonction

  22. Merci bcp, j’ai vraiment aimé votre blog.
    Mais vous n’avez pas abordé les limites de fonctions trigonométriques. Vous pouvez le faire pour moi? S’il vous plait.

    1. Merci ! Si j’ai le temps je le ferai, mais très souvent pour les limites avec cos et sin il faut utiliser le théorème des gendarmes en utilisant que cos et sin sont compris entre -1 et 1.

  23. ca sera tellement sympa si l explication soit suivit par des exos d une certaine difficulté pour les matheux tels les fonctions cos / sin / tg ou bien les racine , merci !

  24. Dans le chapitre  » Le théorème du plus haut degré » vous expliquez que la limite d’un polynome en l’infini est celle de son terme de plus haut degré or dans le chapitre « compléter un tableau de variation  » vous écrivez ceci :
    lim x²-4x+3 = +l’infini
    x —> – l’infini
    et
    lim x²-4x+3 = +l’infini
    x—> +l’infini

    Du coup juste sur ce point là je suis un peu pommé :s.

    Sinon vos cours c’est au top!!
    C’est très bien expliqué !!
    Merci beaucoup !!!!!

    1. Merci à toi !
      Oui pour le plus haut degré on ne garde que le x², dont la limite est +infini quand x tend vers +infini ou -infini. J’espère que cela répond à ta question !

  25. les escplication sont bonne ,mais au niveau des asymptotes ces un peu compliquer ,parce que cette partie est difficile pour moi.Merci pour votre aide.

  26. Merciiiiii beaucoup vous devez être un maitre j ai un exam et ça m a vraiment aidé j admire pour de vrai la façon dont vous expliquez

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