Intégrales et primitives

Sommaire

Présentation
Rappel des dérivées
Tableau des primitives
Les fonctions composées
Notion d’aire sous la courbe
Prorpiétés avec l’aire sous la courbe
Calcul d’intégrales
Intégration par parties
Intérêt des primitives

Introduction
Ce chapitre introduit un outil mathématique assez simple : les primitives. La seule chose à connaître, ce sont les formules des dérivées, ce pourquoi nous t’invitons dès maintenant à revoir le chapitre sur les dérivées, même si nous faisons un petit rappel ici

Présentation
Pour faire simple, une primitive c’est « l’inverse de la dérivée ». La dérivée d’une fonction f se note f ’, et généralement la primitive de f se note F. Par définition, f est la dérivée de F, on a alors la relation :

F est la primitive de f, donc f est la dérivée de F.

Rappel des dérivées

Tableau des dérivées
f f’

On rappelle que quand on a une fonction composée, comme cos(u), u4 ou 1/u par exemple, les formules sont les mêmes sauf qu’on remplace x par u, et on multiplie la dérivée par u’. Pour plus de précisions, se référer au chapitre sur les dérivées composées

Tableau des primitives

Haut de page

De même que pour les dérivées, nous allons faire un tableau pour les primitives
Tu dois le savoir aussi bien que celui des dérivées, c’est-à-dire PAR COEUR !!! Tu dois pouvoir trouver les primitives de base en 1 seconde à peine, ça doit être automatique ! Pour t’entraîner tu trouveras un lien vers des exercices en vidéo sous la tableau
Une remarque importante : quand on fait la primitive, il y a toujours une constante qui apparaît ! La plupart du temps, en mathématiques, on la prend égale à 0 (comme ça c’est plus simple^^)
Sauf qu’en PHYSIQUE, IL NE FAUT JAMAIS OUBLIER LA CONSTANTE !!!! Sinon c’est tout faux… Dans le tableau on n’a pas mis la constante, mais en physique il faudrait la mettre…

Tableau des primitives
f F (la primitive)

Bon comme tu le vois ce n’est pas très compliqué à partir du moment où tu connais les dérivées, car ça ressemble beaucoup.
Une petite astuce quand tu calcules une primitive pour vérifier si c’est bon : dérive la primitive F que tu as calculée !
Normalement tu devrais retrouver f puisque F’= f !

Concernant les constantes devant les x, tu les laisses !
Par exemple, la primitve de x est x2/2. Et bien la primitve de 3x est tout simplement 3x2/2 !!
Quand tu primitives, tu écris le 3 et tu primitives le x normalement, un peu comme pour le dérivées.

Maintenant il s’agit de s’entraîner le plus possible pour que les calculs de primitive deviennent très rapide. Ces exercices de calcul de primitives sont là pour ça

Les fonctions composées

Haut de page

Ce que l’on vient de voir ce sont les cas simples. Ca devient un peu plus compliqué quand il s’agit de primitiver des fonctions composées

Mais en fait, c’est tout aussi simple ! Tu sais que quand on dérive une fonction composée, il suffit de multiplier par u’.
Et bien pour primitiver, c’est l’inverse, il faut faire apparaître u’ dans la fonction à primitiver !

Le tableau est alors le suivant :

Tableau des primitves composées
f F (la primitive)

Tu remarque que c’est EXACTEMENT le même tableau que précédemment sauf que c’est u à la place de x et qu’il y a u’ dans f à chaque fois.
Ainsi, quand il faut primitiver des fonctions composées, il faut D’ABORD faire apparaître u’ avant.

Ces exercices sur les primitives de fonctions composées devraient te donner une meilleure idée de ce qu’il faut faire

Intégrale : notion d’aire sous la courbe

Haut de page

Une intégrale, c’est quoi ? Pour faire simple, c’est l’aire sous la courbe d’une fonction, entre deux points d’abscisses a et b. Avec un petit dessin tu comprendras mieux

Voilà, graphiquement, une intégrale c’est ça ! Et ça se note comme cela :

déçu

Cette intégrale se lit : « intégrale de a à b de f de x dé x ». Bien sûr a et b peuvent valoir ce que l’on veut, 1, 12, 65, √23, Pi, et même l’infini !
a et b sont appelées les bornes de l’intégrale.
Tu dois te demander pourquoi il y a dx à la fin (ça se prononce dé x). En fait cela indique que l’on intègre par rapport à x. On pourrait très bien écrire :

déçu

A ce moment là c’est t la variable, ça revient au même mais parfois on prend d’autres notations que x, et on peut prendre t, m, k, g…


ATTENTION à ne pas oublier ce dx quand tu écris une intégrale, souvent on l’oublie parce qu’on ne voit pas l’utilité ou parce qu’on est pressé par exemple, mais normalement si tu ne le mets pas il y a une erreur. Prends donc de bonnes habitudes dès maintenant en pensant bien à l’écrire à chaque fois.

Souvent, les énoncés sont rédigés de la sorte : « exprimer à l’aide d’une intégrale l’aire définie par l’axe des abscisses, la courbe Cf, et les droites d’équations x = a et x = b ». A ce moment-là c’est très simple, c’est exactement l’aire en bleu ci-dessus ! Il suffit donc de dire que c’est :

déçu

Propriétés avec l’aire sous la courbe

Haut de page

Tout d’abord une propriété qui va nous servir tout à l’heure : la relation de Chasles !
C’est exactement pareil que pour les vecteurs, mais avec des intégrales, donc rien de bien particuleir
Par exemple :

déçu

Une autre propriété qui peut servir mais qu’on utilise rarement : quand on inverse les bornes de l’intégrale, on met un moins devant.

déçu

Voyons maintenant une propriété que l’on utilise parfois quand on veut prouver des inégalités :

déçu
alors
déçu

Autrement dit on peut passer à l’intégrale dans une inégalité si les 2 fonctions sont positives (ou si les 2 sont négatives d’ailleurs, mais on rencontre rarement ce cas).

Une autre propriété à savoir : l’intégrale d’une fonction positive est positive :


Du coup attention !! Si f est négative, l’intégrale sera négative !
Mais on a dit que l’aire sous la courbe, c’était l’intégrale, or une aire n’est jamais négative…
Alors on fait comment ? Et bien on met un moins devant

Par exemple cette fonction :

La fonction est négative, donc l’aire sous la courbe est :

déçu

il ne faut pas oublier le moins…

Mais on fait comment si la courbe est alternativement négative et positive ?
C’est là qu’intervient ce bon vieux théorème de Chasles
Cette fonction par exemple :

On découpe l’intégrale sur les différentes parties où la fonction est positive et négative, mais il ne faut pas oublier de mettre un moins devant quand la fonction est négative !!


Calcul d’intégrales

Haut de page

Bon maintenant qu’on sait exprimer les intégrales, il faudrait peut-être savoir les calculer !
Et bien si tu connais les primitives, cela va être EXTREMEMENT simple !! Prenons un exemple.
Je veux calculer :

déçu

Le 3 est une CONSTANTE, donc je peux le SORTIR DE L’INTEGRALE :

déçu

Maintenant il suffit de trouver la primitive de x2 : c’est x3/3 !
On met alors la primitive entre CROCHETS en mettant les bornes (ici 2 et 6) à DROITE des crochets comme ceci :

déçu

Il suffit alors de remplacer le x par 6 puis par 2 de la manière suivante :

déçu

Comme tu le vois, on remplace d’abord x par 6, puis on SOUSTRAIT en remplaçant x par 2 : c’est d’abord la borne du haut (ici le 6), après la borne du bas (ici le 2). N’oublie pas que c’est une soustraction, donc il y a – entre les deux.
Et enfin on calcule et on simplifie :

déçu

déçu

déçu

Tu remarques qu’il n’y a aucune difficulté, il suffit de connaître la méthode, avec un peu d’entraîenement ça devrait marcher comme sur des roulettes

Là où ça devient un peu plus dur, c’est quand il faut un peu bidouiller la fonction pour trouver une forme qui est dans le tableau. Cela correspond principalement aux fonctions composées. Voyons un petit exemple :
Calculons

déçu

On voit que l’on a une fonction du style 1/u, avec u = 3x + 5. Sauf que dans le tableau, nous on a u’/u…
Il faut donc faire apparaître le u’ ! Ici u’ vaut 3, il faut donc multiplier par 3, mais pour compenser il faut aussi diviser par 3.
On a alors :

déçu

Le 3 qui nous intéresse est celui du haut, celui du bas n’est pas important pour la primitive, donc on le sort de l’intégrale :

déçu

Et là on retrouve notre u’/u dans l’intégrale, dont la primitive est ln(u), on peut alors appliquer la formule du tableau.
MAIS IL NE FAUT PAS OUBLIER LE ⅓ devant !!

déçu

déçu

déçu

déçu

déçu

Ici c’est un exemple assez simple, parfois c’est plus compliqué. L’important ici est que tu t’entraines à calculer beaucoup d’intégrales, comme ça tu iras de plus en plus vite et tu n’hésiteras plus à la fin.
C’est pour cela que nous t’avons préparé quelques intégrales à calculer pour que tu puisses t’exercer

Intégration par parties

Haut de page

Parfois il arrive que la fonction à intégrer ne corresponde à aucune formule dans le tableau.
On peut alors utiliser une méthode : l’intégration par parties, que l’on note souvent IPP.
La formule est la suivante :

déçu

Avec un exemple tu comprendra sûrement mieux
Calculons :

déçu

La seule difficulté avec les IPP est de choisir qui sera u et qui sera v’ ! En effet, il faudra dériver u pour avoir u’ mais intégrer v’ pour avoir v… Là il n’y a pas de règle, mais avec l’entraînement tu verras tout de suite ce qu’il faut prendre


Il existe en réalité une règle qui n’est pas systématique mais qui peut t’aider à choisir qui est u et qui est v’.
C’est ce qu’on appelle la règle du LPET (en phonétique « elle pète », facile à retenir…).
L pour logarithme (ln), P pour polynôme, E pour exponentielle et T pour trigonométrique.
On choisit pour u en priorité les fonctions L, puis les fonctions P, puis E et enfin T.
Par exemple si on doit intégrer (x+2)*cos(x), on a un polynôme fois une fonction trigo, donc P*T. Comme le P est avant le T dans LPET, on prend le polynôme pour u et la fonction trigo pour v’.
Autre exemple : x*ln(x+2) : on a un polynôme fois une fonction ln, donc P*L. Comme L est avant P dans LPET, on prend la fonction ln pour u et le polynôme pour v’.
ATTENTION, cette règle ne marche pas tout le temps, seule la pratique te permettra de savoir faire correctement une IPP !!

Ici, si on intègre x, on aura x2/2, ce qui ne vas pas simplifier les choses… en effet, le but est de simplifier l’intégrale.
Par contre si on dérivé x, on obtient 1, ce qui va sûrement rendre les choses plus simple.
On pose alors u et v’, et on calcule u’ et v, il est conseillé de tout écrire de la manière suivante
u = x     u’ = 1
v’ = ex     v = ex

Il ne reste plus qu’à appliquer la formule :

déçu

déçu

déçu

déçu

déçu

déçu

Bon c’est sûr c’est un peu long mais c’est malheureusement le seul moyen que tu as pour calculer ce genre d’intégrales. Souvent ils demandent explicitement dans la question : « à l’aide d’une intégration par parties, calculer… ». Ils t’aident pas mal quand même
Tu as remarqué que pour passer de la 2ème à la 3ème ligne, on a calculé l’intégrale de ex : ici c’était une intégrale simple, on l’a calculée directement.

On retrouve souvent des IPP dans les suites : on a un qui est une intégrale, et on te demande de trouver une relation de récurrence entre un+1 et un à l’aide d’une intégration par parties. La démarche est expliqué dans cette vidéo d’exercices sur les IPP
Bien sûr tout comme les intégrales il te faut de l’entraînement. N’hésite pas à refaire les exemples et exercices de cette page et des vidéos

Intérêt des primitives et intégrales
Comme on l’a vu, les intégrales servent à calculer l’aire sous la courbe d’une fonction. Cette aire a parfois une signification physique, notamment en thermodynamique.
En physique, les intégrales servent également à calculer certaines grandeurs sur des espaces ou des temps donnés. Le travail d’une force d’un point à un autre peut se calculer à l’aide d’une intégrale par exemple.
Les primitives sont utilisées quand on a la dérivée d’une fonction et qu’on cherche la fonction elle-même. Tu verras cela en mécanique quand tu chercheras les équations horaires d’un projectile.
D’une manière générale, les primitives sont importantes puisque les dérivées le sont, et que ces deux notions sont étroitemennt liées.

Retour au sommaire des cours Remonter en haut de la page




141 réflexions sur “ Intégrales et primitives ”

  1. Bonjour, je voulais tout d’abord vous féliciter car votre site est vraiment génial pour ré-apprendre les maths.
    J’aimerais savoir s’il était possible que vous intégriez les intégrales par changement de variable avec quelques exercices simples sous forme de vidéo car j’ai du mal à comprendre le théorème :-/

    D’avance je vous en remercie et continuez à développer ce site. Il est génial.

    Cordialement

  2. Merci pour le cours .. il m a vraiment aider .. surtout de savoir les primitives .. j espere que vous pouvez poster le cours de matrice pour le programe de classes prepa economie . Eh Mercib

  3. bonjours je suis pas français ms je trouve que votre site est vraiment génial pour apprendre les math
    dans se chapitre là il manque juste une petit astuce pour facilité de choisir le u est v dans se cadre là j aimerais bien partager avec vous notre astuce
    alors pour choisir le u on a une méthode facile c est A.L.P.E.S
    A=arctan
    L=lnx
    P=polynôme
    E=exp
    S=sinx et cosx
    c est vraiment pratique dans intégrales pare parties pour choisir facilement u’ est v
    je vous vous souhaitez bon courage monsieur

  4. mr6 bcp!c’est simple mais bien explique,genial!mais,j’ai une autre question Mr;est ce que vous pouvez proposer l’application de l’integrale dans la vie courante?

    1. Salut !
      En Physique et plus particulièrement en mécanique de Terminale, tu apprendras à intégrer pour pouvoir trouver la vitesse d’un objet à partir de son accélération ou sa position à partir de sa vitesse.
      Par exemple si l’accélération d’un objet est de 5 (ce qui signifie qu’il quintuple sa vitesse chaque seconde) alors sa vitesse est de 5x, avec x le temps en seconde, et sa position est de 5x²/2.

  5. C’est génial!!, les intégrales m’avaient échappés au lycee mais je les trouve sympa chez vous.
    Merci pour tout, Que le succès vous accompagne.

  6. merci beaucoup monsieur ,votre cours est très bien détaillé mais il y’a manque de certaines méthode d’intégration comme changement de variable et l’utilisation de la linéarité

  7. je cherches une facon de pouvoir intégrer une loi de probalité laplace GAUSS en utilsant la méthode des détritus, simplement pour écrire un algorithme pour résooudre ce type d’intégration, mais pour le plaisir; alors si tu peux me le trouver, un grand merci !!! ah, oui j’étais professeur de gestion de produuction et habitué à l’avenir certain et non incertain; plein de probas, de dérivées, de primitives,et dv premières et secondes;ton site est très intérressant et relativement simple à comprendre; Toi et ton équipe continuez ainsi et c’est du bon boulot

  8. Bonjour,

    comment dire… J’arrive enfin à comprendre les mathématiques et pourtant je me pensais un cas désespéré.

    Bizarrement cet espèce de blocage qui ferme mes hémisphères dès que j’entraperçois de près ou de loin un élément mathématique ne se produit pas avec cette approche étonnantes.

    Vivement merci !!

  9. c’est vraiment intéressant ce que vous avez mis sur ce site, je voulais savoir comment, à partir de la méthode d’intégration par partie j’peux intégré certaines fonctions contenant des racines carrées! merci d’avance!
    n. PatrickkA

  10. Je passe le bac et j’ai lu toutes sortes de bouquins sur les primitives sans jamais rien comprendre, ici, en moins de 2 min j’ai tout compris, merci pour tout, ce que vous faîtes est compréhensible, et détaill JVOUSAIMEPUTAIN!

  11. Bonjour et félicitations pour votre site.
    J’ai passé un bac D en 1979 et je me replonge « en douceur » dans les notions de dérivée, intégrale et primitive de lycée que j’ai complètement oubliées( aurais-je été flashouillé par des Men in blacks ?) Il est vrai que depuis presque 40 ans, je n’ai pas croisé le chemin d’une dérivée ou d’une intégrale sur ma route … Concernant les notions d’intégrale et de primitive voici ma question: une primitive est une intégrale et donc une aire ? Me gouré-je ? Et dans l’affirmative, pourquoi utiliser deux mots différents pour une même chose ?

    1. Merci beaucoup !
      Une primitive est une fonction, qui si on la dérive redonne la fonction de base.
      Une intégrale correspond à une aire en unités d’aires. Donc normalement c’est un nombre, mais on peut faire dépendre cette intégrale d’une variable en mettant la variable dans les bornes de l’intégrale.
      Bon courage !

      1. Ne peut-on dire alors que l’aire sous la fonction ( donc sous la courbe dans sa totalité) c’est la primitive ? Donc intégrale serait une aire définie dans un intervalle ( A et B dirons-nous) donné alors que primitive serait une aire virtuelle et non définissable précisément car située dans un espace non borné ( sur l’axe des x ) ? C’est bête ce que je dis ?
        Autre petite question: Il semblerait que la fonction primitive tire son nom du fait qu’il n’ existe pas d’autre fonction qui, dérivée, puisse donner une primitive; Mais qu’à partir de la primitive on puisse dériver pour obtenir d’abord une fonction ( qui peint le mouvement) qui elle même est dérivable pour donner autre fonction ( qui peint la vitesse) qui elle même est dérivable pour donner encore une autre fonction ( qui peint l’accélération) si l’axe des abscisses est celui du temps .J’espère que mon raisonnement est bon jusque-là … Et donc ma question (naïve) est « jusqu’où peut-on aller dans la dérivation des fonctions ? Existe-t-il une « définitive » comme il existe une « primitive » ?  » et comment sait-on qu’il n’existe pas de fonction « en amont  » de la primitive ?
        Merci d’avance pour vos réponses qui m’enlèveraient une épine dans le pied 🙂

  12. Bonjour,
    Merci beaucoup pour votre cours, c’est super bien expliqué ! Je vais l’utiliser pour aider un ami, je suis confiante que cela passera bien mieux que l’approche apprise en cours !
    Susanna

    1. Une primitive est une fonction, alors qu’une intégrale est un nombre correspondant à une « aire » (une intégrale peut éventuellement dépendre d’une variable si on met cette variable dans les bornes de l’intégrale).

  13. Merci beaucoup mais pourriez-vous donner des exemples concrets par exemple pour des problèmes?
    Je suis en terminale et demain j’ai un devoir de maths bien que je ne comprenne rien…
    Je comprend la théorie mais si j’ai un énoncé, je ne sais pas ce qu’on veut de moi…
    Si vous pouviez m’aider, merci beaucoup!!!

  14. Merci pour votre aide de tout les jours. j’apprends de nouvelles choses que je ne connaissais pas avant!mais ce qui me manque c’est l’application des intégrales et des suites numérique si vous pouvez m’aider. Une fois de plus merci…

  15. bonjour! je suis étudiant en licence de géologie à la faculté des sciences et techniques de l’université marien Ngouabi de brazzaville, congo brazzaville.Durant mon parcours au lycée j’ai éprouvé d’énormes difficultés en mathématiques, et cela m’a suivi jusqu’à l’université.cependant, j’aimerais avoir beaucoup d’explications sur les méthodes de résolution des intégrales, des équations différentielles et sur le calcul des limites.merci à vous!

  16. Merciiiii infiniment vous m’avez facilité la tâche je comprends mieux. Prions que demain ce n’ai pas l’interrogation pour que je puisse m’exercer encore plus

  17. Bonjour, ce site est important, son contenu est très riche et il fournit des informations de première classe.
    Je l’apprecie beaucoup, c’est un site dont il faut saluer et toujours nous vous demandons d’exacerber tous les details relatifs des démonstrations.
    Je vous remercie infiniment.

  18. Très bonnes explications , vraiment c’est un bon site que je recommanderai. Etant en deuxième année de classe préparatoire ça fait toujours du bien de pouvoir revoir son cours de l’an passé sans se prendre la tête et vraiment je trouve ce site parfait, je pèse mes mots ! Manquerait juste peut-être la méthode du changement de variable mais excepté ceci vraiment CHAPEAU .

    Cordialement

  19. Je suis impressionné par la manière dont vous expliquer les Maths la clarté et la simplicité sont visibles sur toutes vos explications avec une maîtrise parfaite de toutes les matières. Merci pour tout

  20. Bon rafraîchissement! ( 20 ans)
    Demain je M y Colle avec maylis pour son de voir sur table. C est très clair. Je vous remercie. Il ne reste plus qu à s entraîner !

    Un grand merci

  21. grand merci Monsieur
    Mon grand probleme se pose au niveau des fonctions sinusoidales si vous pouvez m’aider à les comprendre

  22. Vos explications sont carrement…bon, je ne vois pas de qualificatif, tellement c’est assez simple, précis et facile à comprendre!
    N’importe quel élève ou étudiant, peu importe son niveau peut comprendre ce qu’on a toujours pensé être reservé qu’aux seuls genies.
    Merci à vous et tous mes encouragements !

  23. merci pour tous je veux juste un tous petit. Résumé.d’intégration de certaines classes de fonctions trigonometriques

  24. super bien,j ai eu mon bac en 1990 j etais tres fort en math et maintenant je revise pour voir si je suis capable de resoudre des equation ,merci

  25. Je trouve ça très intéressante , avec je comprendrai beaucoup mieux ce que je n’ai pas compris sur les bancs. Ça je m’engage.
    Tout mes remerciements.
    Merci!

  26. Je vous remercie beaucoup. Votre démarche est très claire pour moi, notamment les exemples que vous donnez pour étayer les formules d’intégration. Cela m’a aidé beaucoup à préparer les concours de niveau BAC. Infiniment merci !

  27. J’ai beaucoup aimé cette methodologie car elle donne envie d’aimer les maths et faire des exercices de math
    Je tiens a remercié les collarorateurs qui ont participer a la mise en oeuvre de cette methodologie aussi simple
    Mais j’aimerais savoir une chose es ce que vous pouviez etablir le formant Pdf de cette methodologie pour qu’on puisse la telechargée je pense ça sera une idée car beaucoup de personnes apprecié et aimerais la telechargée
    J’attends votre reponse …….

  28. Bonjour ,je suis un étudient de l ‘ université de Djibouti,je vous félicite de cette cour génial et de votre bon méthodologique monsieur.
    je regrette de ne pas rencontre avant le bac.
    Merci.

  29. Merci,
    C’est très bien expliqué avec des exercices à l’appui. C’est fascinant de vous lire et de comprendre avec autant de facilité. Merci encore

  30. bonjour en tout cas j’ai été impressionné par vos détails sur ce chapitre c’est vraiment formidable de votre part . Continuez affinement votre travail merci!

  31. Merci pour tous vos details
    Je souhaite faire mon examen de BTS en Electrotechnique cette annee et je me prepare vraiment pour tout mettre en oeuvre pour la reussite de cette examen. Merci encore

  32. merci bcp , le cours etait tres interesent pour moi . Autre chose , je voulait le cour de l’equation differencielles et les fonctions a deux variables .

  33. C’est pas très facile à comprendre quand on est en troisième…
    Tant pis

      1. Merci bien.

        Il s’agit de l’integrale entre les bornes 0;1 de (2x²+1)sin(2x) dx et de l’intégrale en 1;e de xlnx dx.

        Merci.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *