Les identités remarquables

Sommaire

Introduction
Formules à connaître
Développer une identité remarquable
Pièges à éviter en développant
Factoriser une identité remarquable
Pièges à éviter en factorisant
Factoriser les deux premières formules

Introduction

Ce chapitre va traiter des fameuses identités remarquables que chaque élève digne de ce nom doit connaître

Ce chapitre est un des seuls de niveau collège proposé par le site, sauf que de nombreux élèves, même en Terminale S, ne connaissent pas les identités remarquables ou les appliquent mal. Une petite piqûre de rappel ne sera donc pas de trop, pour des élèves de n’importe quel niveau !
Donc ce n’est pas parce que tu as vu les identités remarquables depuis longtemps que ce chapitre n’est pas fait pour toi


Une remarque avant de commencer : dans tout le chapitre, quand l’on notera ab, cela signifiera a fois b, tout comme 2x signifie 2 fois x.
Le signe fois sera noté * pour ne pas confondre avec la variable x.

Formules à connaître

Les identités remarquables sont au nombre de 3 et sont à apprendre PAR COEUR !!!!!


Remarque importante : on peut inverser (a + b) et (a – b) dans la troisième formule, cela n’a aucune importance.
La dernière formule peut donc également s’écrire (a – b)(a + b) = a2 – b2

Pour que tu comprennes d’où viennent ces formules nous allons les démontrer, tu vas voir c’est très rapide :
(a + b)2 = (a+b)*(a+b)
(a + b)2 = a*a + a*b + b*a + b*b
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (car ba = ab)

Et voilà, tout simplement ! Comme tu le vois rien de bien sorcier, il suffit de développer.
De même :
(a – b)2 = (a-b)*(a-b)
(a – b)2 = a*a – a*b – b*a + b*b
(a – b)2 = a2 – ab – ba + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Et enfin :
(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2 (car ba = ab)

Dans ces formules, a et b peuvent être des chiffres ou des lettres.
Exemples :
(x + 2)2 : x correspond au a et 2 correspond au b
(2x – 7)2 : 2x correspond au a et 7 correspond au b
(x + 5)(x – 5) : x correspond au a et 5 correspond au b
(√6 + 9)2 : √6 correspond au a et 9 correspond au b
x2 – 92 : x correspond au a et 9 correspond au b

Evidemment on peut utiliser ces formules dans les 2 sens, c’est-à-dire que si l’on a (x + 2)2, on va développer en appliquant la première formule, si l’on a (x + 5)(x – 5) on va développer en utilisant la troisième formule.
Mais on peut aussi avoir x2 – 92 et à ce moment-là on va factoriser en utilisant la troisième formule.
A noter cependant que les deux premières formules s’utilisent principalement pour développer et non factoriser car cela est plus compliqué (nous verrons cela plus loin dans la partie factoriser).

Nous verrons au fur et à mesure qu’il existe de nombreux pièges à éviter, donc nous ferons plusieurs exemples avec ces pièges pour que tu sois habitué et que tu ne tombes pas dedans

Développer une identité remarquable

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Nous allons voir plusieurs exemples afin de t’expliquer comment appliquer correctement les formules SANS TOMBER DANS LES PIÈGES !!! (et ils sont nombreux )

Commençons par des exemples simples, sans piège, que tu rencontreras souvent :
(x + 5)2 : ici il s’agit d’appliquer la première formule avec a = x et b = 5. Cela donne :
(x + 5)2 = x2 + 2*x*5 + 52
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Et voilà, ce n’est pas plus compliqué que ça !

Il s’agit là de l’exemple le plus simmmmmmple que tu puisses avoir.

Un autre du même genre :
(x – 3)2 : ici il s’agit d’appliquer la deuxième formule avec a = x et b = 3. Cela donne :
(x – 3)2 = x2 – 2*x*3 + 32
(x – 3)2 = x2 – 6x + 9

Comme tu le vois rien de bien sorcier.

Un autre simple :
(x + 7)(x – 7) : ici il s’agit d’appliquer la troisième formule avec a = x et b = 7. Cela donne :
(x + 7)(x – 7) = x2 – 72
(x + 7)(x – 7) = x2 – 49


ATTENTION ! Pour pouvoir appliquer la troisième formule, il faut que le a et le b soient identiques dans les deux parenthèses !
Donc si l’on a (x + 7)(x – 5), ce n’est pas bon car le b n’est pas identique dans les deux parenthèses.
De même si l’on a (2x + 7)(3x – 7), ce n’est pas bon car le a n’est pas identique dans les deux parenthèses.

Finissons cette première partie avec un dernier exemple sans lettre :
(√7 + 5)2 : ici il s’agit d’appliquer la première formule avec a = √7 et b = 5. Cela donne :
(√7 + 5)2 = (√7)2 + 2*(√7)*5 + 52
(√7 + 5)2 = 7 + 10√7 + 25
(√7 + 5)2 = 32 + 10√7

Et voilà, c’est fini ! Pense bien à simplifier au maximum les expressions obtenues


Tu as sûrement remarqué que l’on a mis des parenthèses pour la racine : ce n’est pas obligatoire mais ça aide à la compréhension, notamment ton correcteur

Pièges à éviter en développant

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Nous allons voir ici les pièges auxquels tu peux être confronté quand tu développes une identité remarquable.

Le premier piège, c’est de dire (a + b)2 = a2 + b2
C’est évidemment totalement faux puisqu’il manque le 2ab !
Cela peut paraître simple comme piège mais quand tu as un long calcul à faire et que tu tombes sur quelque chose du style (a + b)2, il est tentant de simplifier en allant plus vite et de dire que c’est a2 + b2

EN REVANCHE, il ne faut pas confondre avec (a * b)2, qui dans ce cas vaut a2 * b2 !!
Surtout que l’on va utiliser cette formule plus loin^^

Par exemple : (3x)2 : a = 3 et b = x, d’où :
(3x)2 = 32 * x2
(3x)2 = 9x2

Autre exemple : (6√5)2 : a = 6 et b = √5, donc :
(6√5)2 = 62 * (√5)2
(6√5)2 = 36 * 5
(6√5)2 = 180


Attention donc à ne pas confondre les deux formules :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
MAIS (a * b)2 = a2 * b2

Deuxième piège fréquent : quand le a ou le b n’est pas constitué d’un seul chiffre ou d’une seule lettre mais d’au moins deux chiffres ou lettres.
Exemple : (3x + 5)2 : ici a = 3x, donc il faut absolument mettre des PARENTHÈSES !!!!
(3x + 5)2 = (3x)2 + 2*(3x)*5 + 52
(3x + 5)2 = 9x2 + 30x + 25

Et là tu remarques que l’on a utilisé la formule (a*b)2 = a2*b2 pour le (3x)2.

Petite remarque : les parenthèses sont ABSOLUMENT NÉCESSAIRES pour le a2 mais on peut s’en passer pour le 2ab.
Ainsi au lieu d’écrire (3x)2 + 2*(3x)*5 + 52 on peut écrire (3x)2 + 2*3x*5 + 52

Et si on oublie les parenthèses, que se passe-t-il ?? Et bien voyons un exemple de ce qu’il ne faut PAS faire
Développons (4x + 7)2 sans mettre les parenthèses :
(4x + 7)2 = 4x2 + 2*4x*7 + 72
(4x + 7)2 = 4x2 + 56x + 49

Et là c’est faux car normalement c’est (4x)2 donc 16x2 !!!!
Si tu oublies la parenthèse il n’y a que le x qui est au carré et pas le 4, et donc le résultat est faux…

Autre exemple du même type :
(6x + 3√7)2 : ici il faut mettre des parenthèses pour a = 6x et b = 3√7 :
(6x + 3√7)2 = (6x)2 + 2*6x*3√7 + (3√7)2
(6x + 3√7)2 = 36x2 + 36x√7 + 9*7
(6x + 3√7)2 = 36x2 + 36x√7 + 63

Troisième piège possible : par rapport au signe dans la parenthèse.
Si on a (x+3)2, il est évident que l’on utilise la première formule.
Si on a (x-7)2, il est évident que l’on utilise la deuxième formule.

Mais si l’on a (-x + 8)2, quelle formule utiliser ??
Dans ce cas il est très fortement recommandé (ce qui signifie presque obligatoire ), de transformer l’écriture.
En effet, -x + 8 = 8 – x
Donc on transforme (-x + 8)2 en (8 – x)2, et là il est évident que l’on va utiliser la deuxième formule.

Exemple : (-4x + 3)2 :
(-4x + 3)2 = (3 – 4x)2 et on utilise la deuxième formule :
(-4x + 3)2 = 32 – 2*3*4x + (4x)2 (ne pas oublier les parenthèses !)
(-4x + 3)2 = 9 – 24x + 16x2

Et voilà, tout simplement !

De la même manière, si l’on a une expression comme (-x – 3)2, (-2x – 7)2 ou (-5 – 2x)2 par exemple, c’est-à-dire avec deux signes moins, on va d’abord transformer l’écriture.
En effet, -x – 3 = -(x + 3)
Donc (-x – 3)2 = [-(x + 3)]2 (attention aux parenthèses).
Ainsi (-x – 3)2 = (x + 3)2

En effet, quand on a un moins en facteur dans une parenthèse au carré, il s’annule !
Ainsi (-5)2 = 52, (-9)2 = 92, (-(2x+7))2 = (2x+7)2, etc…

On peut donc dire que (-2x – 7)2 = (2x + 7)2 et (-5 – 2x)2 = (5 + 2x)2
Et après on applique évidemment la première formule. Voyons un exemple complet :
(-3x – 8)2 = (3x + 8)2
(-3x – 8)2 = (3x)2 + 2*3x*8 + 82
(-3x – 8)2 = 9x2 + 48x + 64

Comme tu le vois une fois que tu as fait la transformation à la première ligne la suite est exactement pareille !

Factoriser une identité remarquable

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Nous allons voir maintenant comment aller dans le sens inverse, c’est-à-dire factoriser et non développer.
Cela va se faire principalement avec la troisième formule, donc nous parlerons d’abord de cette formule, et nous verrons dans une autre partie pourquoi il est plus compliqué de factoriser avec les deux premières.

On va tout d’abord réécrire la troisième formule dans le sens où l’on va l’utiliser :

Passons aux exemples :
x2 – 9 : ici a = x, mais que vaut b ?? En effet, le 9 n’est pas au carré…
Il faut donc commencer par transformer l’expression, car on sait que 9 = 32
Donc x2 – 9 = x2 – 32
Et là on peut appliquer la formule avec a = x et b = 3 :
x2 – 9 = x2 – 32
x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)

Retiens bien cet exemple avec cette méthode où tu dois transformer un chiffre en son carré car tu auras très souvent à le faire !

Autre exemple du même style : 16 – x2
Cette fois-ci b = x, mais pour a il faut transformer car le 16 n’est pas au carré.
Or 16 = 42, donc 16 – x2 = 42 – x2
Et maintenant a = 4 et b = x :
16 – x2 = 42 – x2
16 – x2 = (4 + x)(4 – x)

On vient de voir les cas les plus simples, passons à plus compliqué !
Factorisons x2 – 7.
Là aussi il faut transformer, sauf que 7 = ????2
En effet, pour 9, 16, 25 etc… (ce qu’on appelle les carrés parfaits) c’est simple, mais pour les autres nombres ??
Et bien tout simplement 7 = (√7)2 !
De même, 5 = (√5)2, 13 = (√13)2 etc…

Ainsi, x2 – 7 = x2 – (√7)2
Et on applique la formule avec a = x et b = √7 :
x2 – 7 = x2 – (√7)2
x2 – 7 = (x + √7)(x – √7)

Et voilà, rien de spécial si ce n’est la petite transformation du début avec la racine.

Autre petite astuce : si l’on doit factoriser 9x2 – 25 par exemple.
Déjà on va transformer le 25 en 52 comme on vient de le voir.
Mais ce qui est intéressant ici c’est le 9x2. En effet, seul le x est au carré, pas le 9 !
On va donc transformer le 9 en 32 :
9x2 – 25 = 32*x2 – 52
9x2 – 25 = (3x)2 – 52 (on utilise la formule (a*b)2 = a2*b2)
Et là maintenant on peut appliquer la formule avec a = 3x et b = 5.
9x2 – 25 = (3x + 5)(3x – 5)

Il faut bien faire attention que si l’on a des expressions comme 2x2, 3x2, 4x2 etc… seul le x est au carré, il faut donc transformer l’écriture…

Evidemment on peut combiner les deux difficultés !
Factorisons 5x2 – 6
On tranforme 5 en (√5)2 et 6 en (√6)2 :
5x2 – 6 = (√5)2*x2 – (√6)2
5x2 – 6 = (√5 * x)2 – (√6)2
5x2 – 6 = (x√5 + √6)(x√5 – √6)


Tu as sûrement remarqué qu’à la dernière ligne on a transformé le √5 * x en x√5, et c’est ce que tu dois faire !
En effet, quand tu écris x√5 on voit bien que le x est en dehors de la racine, alors que quand tu écris √5*x on peut se demander si le x est dans la racine ou non, ce qui peut prêter à confusion…
Même principe évidemment si l’on a un chiffre et une racine : on écrira 6√2 plutôt que √6*2.

Maintenant que l’on a vu tous les cas plutôt classiques, passons aux pièges qui peuvent se présenter quand l’on factorise avec la troisième formule.

Pièges à éviter en factorisant

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Le premier piège à éviter, que certains peuvent trouver simple, est celui de vouloir factoriser a2 + b2.
En effet, s’il y a une formule pour factoriser a2 – b2, il n’y en a pas pour factoriser a2 + b2
On peut parfois quand même factoriser a2 + b2 mais par d’autres moyens, sans utiliser d’identité remarquable.
Exemple : (5x)2 + 102 : on a bien a2+b2 avec a = 5x et b = 10, mais on ne peut pas utiliser l’identité remarquable puisque c’est + et non -.
Ici on peut quand même factoriser : pour ce faire, on va d’abord transformer un peu l’écriture :
(5x)2 + 102 = 25x2 + 100 : on peut factoriser par 25 :
(5x)2 + 102 = 25(x2 + 4)

Ici nous avons factorisé par un chiffre, comme tu sais le faire, mais sans utiliser d’identité remarquable !

Par contre, il existe un autre piège qui ressemble à celui-là mais où l’on va utiliser une identité remarquable.
Il s’agit du cas où l’on a -a2 + b2 (le – au début n’est pas au carré !).
Exemple : -x2 + 16, -(3x)2 + 12, etc…

L’astuce va être d’inverser les deux termes, on va transformer -a2+b2 en b2 – a2 :
-x2 + 16 = 16 – x2
-(3x)2 + 12 = 12 – (3x)2

Et là, miracle ! On peut utiliser la formule a2 – b2 !
Pour le premier exemple :
-x2 + 16 = 16 – x2
-x2 + 16 = 42 – x2 : ici a = 4 et x = 2
-x2 + 16 = (4 + x)(4 – x)

Pour le deuxième exemple :
-(3x)2 + 12 = 12 – (3x)2
-(3x)2 + 12 = (√12)2 – (3x)2
-(3x)2 + 12 = (√12 + 3x)(√12 – 3x)

Comme tu le vois rien d’extraordinaire par rapport à d’habitude si tu penses bien à inverser les termes dès le début !


Attention à ne pas confondre les deux pièges !!
Si on a a2+b2 : on ne peut pas utiliser d’identité remarquable.
Mais si on a -a2+b2, on inverse les deux termes pour pouvoir utiliser la troisième formule.
Ce n’est pas parce qu’il y a un + au milieu que tu ne peux pas utiliser la formule, tout dépend s’il y a un – au début ou pas.

Dernier piège dans lequel tu peux tomber : quand l’on a expression comme :
(2x+1)2 – (3x+7)2, que fait-on ?
Réponse : tout dépend de la question !!
En effet, ici on peut développer (2x+1)2 avec la première formule (a=2x, b=1) et (3x+7)2 avec la première formule (a=3x et b=7), mais on peut aussi factoriser en utilisant la troisième formule avec a = 2x+1 et b = 3x + 7 !

Voyons les deux méthodes :
tout d’abord si l’on demande de développer :
(2x+1)2 – (3x+7)2 = (2x)2 + 2*2x*1 + 12 – ((3x)2 + 2*3x*7 + 72)
Il ne faut surtout pas oublier les parenthèses en développant le 2ème terme à cause du – !!!
(2x+1)2 – (3x+7)2 = 4x2 + 4x + 1 – (9x2 + 42x + 49)
(2x+1)2 – (3x+7)2 = 4x2 + 4x + 1 – 9x2 – 42x – 49
(2x+1)2 – (3x+7)2 = -5x2 – 38x – 48

Ici le piège est de bien penser à mettre les parenthèses quand on développe le 2ème terme à cause du – sinon c’est tout faux !!!

Maintenant si l’on demande de factoriser (2x+1)2 – (3x+7)2, on va utiliser la troisième formule avec a = 2x+1 et b = 3x + 7. Sauf que b est une somme, il va donc falloir mettre des parenthèses pour b dans (a – b) :
(2x+1)2 – (3x+7)2 = (2x+1 + 3x+7)(2x+1 – (3x+7))
Là encore bien penser à mettre des parenthèses pour b dans (a-b) sinon c’est tout faux !!!
(2x+1)2 – (3x+7)2 = (2x+1 + 3x+7)(2x+1 – 3x – 7)
(2x+1)2 – (3x+7)2 = (5x + 8)(-x – 6)

Cette technique est valable si b est une somme ou une différence, comme le montre l’exemple juste après.


Remarque : s’il est ici obligatoire de mettre des parenthèses au b pour le (a – b), il n’est pas nécessaire de le faire pour le (a + b).
Deuxième remarque : si tu ne veux pas t’embrouiller dans les parenthèses, rien n’empêche de mettre des crochets.
Ainsi on aurait pu écrire : (2x+1)2 – (3x+7)2 = (2x+1 + 3x+7)[2x+1 – (3x+7)], et une fois qu’on enlève la parenthèse à l’intérieur on peut remplacer les crochets par des parenthèses.

Autre exemple : factorisons 9 – (6x – 7)2
On transforme d’abord le 9 en 32 comme on a appris à le faire :
9 – (6x – 7)2 = 32 – (6x – 7)2
On a a2 – b2 avec a = 3 et b = 6x – 7. Comme b est une différence, on pense à mettre des parenthèses dans le a-b :
9 – (6x – 7)2 = 32 – (6x – 7)2
9 – (6x – 7)2 = (3 + 6x – 7)[3 – (6x – 7)]
9 – (6x – 7)2 = (3 + 6x – 7)[3 – 6x + 7]
9 – (6x – 7)2 = (6x – 4)( -6x + 10)


Ce qu’il faut retenir de manière générale, c’est qu’il faut bien penser à mettre des parenthèses devant un – quand nécessaire !

Factoriser les deux premières formules

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Nous avons vu ci-dessus comment factoriser a2 – b2, donc en utilisant la troisième formule.
Mais peut-on factoriser avec les deux autres formules ? Oui mais… cela est beaucoup plus compliqué !!
En effet, il faut faire apparaître une expression du style a2 + 2ab + b2 ou a2-2ab+b2

Exemple : x2 + 6x + 9. A première vue il n’est pas évident que l’on peut factoriser cette expression en utilisant une identité remarquable. Et pourtant si !
Il faut tout d’abord transformer l’écriture :
x2 + 6x + 9 = x2 + 2*x*3 + 32
Et là on voit apparaître a2 + 2ab + b2 avec a = x et b = 3
D’où x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.

Et là tu te dis :
Mais comment a-t-on trouvé cette transformation ??
En fait rien de particulier par rapport à tous les exemples que l’on a vu précédemment si ce n’est la transformation avec les x pour avoir 2ab…
En fait c’est très simple, si l’on a 12x par exemple, on peut d’abord écrire que c’est 2*6x (toujours 2 fois quelque chose).
Ensuite il faut décomposer le 6x en produit qui correspondent à a et b.
Dans l’exemple du dessus, on avait 6x, donc on écrit 6x = 2*3x.
Puis il faut décomposer le 3x. Comme ici a=x et b=3 c’est assez simple, on écrit 3x = x*3 (on a inversé pour avoir a*b et non b*a).

Autre exemple : 4x2 – 36x + 81
Transformons l’écriture :
4x2 – 36x + 81 = (2x)2 – 2*2x*9 + 92
Et on voit apparaître a2 + 2ab + b2 avec a= 2x et b = 9.
Ce qui donne 4x2 – 36x + 81 = (4x – 9)2.

Détail de la partie compliquée : on avait 36x, donc on écrit 36x = 2*18x.
Il faut ensuite décomposer le 18x : comme ici a=2x et b=9, on écrit 18x = 2x*9.
Le 36x devient donc 2*2x*9.

Comme tu le vois il faut faire des transformations qui ne sont pas immédiatement évidentes, ce pourquoi il est rare que l’on ait à faire cela, mais il faut quand même savoir le faire au cas où…

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