La géométrie dans le plan

Sommaire

Les vecteurs
La relation de Chasles
Equations de droite
Produit scalaire
Intersections
Projection orthogonale et distance
Droites remarquables
Points remarquables
Equation de cercle
Barycentres
Ensemble de points
Intérêt de la géométrie dans le plan

Introduction
Ce chapitre comporte quelques rappels de 2nde, mais nous avons pensé qu’il ne serait pas inutile de les faire

Les vecteurs
Un vecteur est constitués de 2 points. Il a une direction, un sens, et une longueur, et se note : . Ce vecteur est orienté de A vers B.
Si on veut, on peut dire qu’un vecteur est un segment mais qu’il est orienté, car il a un sens.
Les coordonnées de ce vecteur sont :

La norme (c’est-à-dire la longueur) de ce vecteur se note ou et est :


ATTENTION à ne pas confondre : soit tu mets AB sans vecteur et sans « barre » sur les côtés : AB, soit tu mets la flèche au-dessus de AB ET les barres sur les côtés : , mais ne mélange pas les deux écritures !!

Nous allons te montrer avec un dessin d’où vient cette formule : le théorème de Pythagore !

D’après le théorème de Pythagore :

donc


Remarque importante : quand on te demande de calculer la norme d’un vecteur, il est fortement conseillé de calculer d’abord les coordonnées du vecteur (si cela n’a pas été fait dans les question précédentes).
Il est en effet beaucoup plus simple de calculer la norme une fois que l’on a le vecteur.

Exemple : A(2 ; 5) et B (8 ; 7)
On a alors :

on peut alors calculer la norme du vecteur :

La relation de Chasles

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La relation de Chasles ne devrait pas te poser de problème vu que tu l’as vue en Seconde normalement.
Cette relation sert à regrouper 2 vecteurs en un seul, ou au contraire à décomposer un vecteur en 2 vecteurs.
On a :

En gros, quand on a 2 vecteurs et qu’il y a la même lettre au milieu, cette lettre « disparaît » et il ne reste plus qu’un seul vecteur avec les 2 lettres qui restent.
Evidemment cette relation est vraie pour n’importe quelle lettre, pas seulement A, B et C^^


ATTENTION !! Cette formule n’est valable que s’il y a « + » entre les 2 vecteurs, pas « – » !!
Du coup :

Par contre, si on a « – » , on peut utiliser le fait que :

En gros, si on enlève le moins devant un vecteur, on change l’ordre des lettres.
Ainsi, on pourrait avoir :

On transformerait alors d’abord le 2ème vecteur en enlevant le « – » mais en changeant l’ordre des lettres du coup :

Et maintenant on peut appliquer la relation de Chasles :

Evidemment on peut faire l’inverse, c’est-à-dire décomposer un vecteur en 2 autres vecteurs. Il suffit juste de choisir un point, on peut prendre celui qu’on veut !


ou


ou


etc…

Tout dépend du contexte de l’exercice pour savoir avec quelle lettre il faut décomposer le vecteur.

Equations de droite

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Dans le plan il y a des vecteurs mais bien sûr il y a aussi des droites.
Elle sont caractérisées par leur VECTEUR DIRECTEUR .


est un vecteur directeur de la droite (d)


Attention ! Il y a plusieurs vecteurs directeurs pour une droite, il y en a même une infinité ! Quand tu rédiges, écris donc que c’est UN vecteur directeur de la droite (d) plutôt que LE vecteur directeur de la droite.

Quand tu fais un exercice sur les fonctions, tu dis qu’une droite a pour équation y = ax + b (fonctio affine).

En géométrie, il est préférable de dire qu’une équation de la droite est ax + by + c = 0
Pourquoi ?
Et bien tout simplement parce qu’on sait que sous cette forme, le vecteur = (a ; b) est perpendiculaire à la droite, tandis que le vecteur = (b ; -a) est un vecteur directeur de la droite

Exemple : 2x + 3y + 5 = 0 est l’équation d’une droite dans le plan.
Le vecteur = (2 ; 3) est perpendiculaire à la droite, tandis que le vecteur = (3 ;-2) est un vecteur directeur de la droite.

Produit scalaire
Le produit scalaire est un NOMBRE que l’on peut calculer à partir de 2 vecteurs. Ce produit scalire se note
La formule du produit scalaire est :

Cependant, cette formule est très peu utilisée en Terminale. On va plutôt voir une méthode très simple de calculer le produit scalaire :

Par exemple : = (1 ; 5) et = (2 ; 3)
Alors

Comme tu le vois on multiplie les x entre eux et les y entre eux, et on additionne ! Vraiment très simple


ATTENTION ! Il faut bien comprendre que le produit scalaire est un NOMBRE et non un vecteur !

Bon c’est bien joli ce produit scalire mais ça sert à quoi ?
Ca sert entre autres à montrer que 2 droites sont perpendiculaires ! En effet :

Ainsi, si est le vecteur directeur d’une droite (D) et le vecteur directeur d’une droite (D’), alors si = 0, les vecteurs et sont orthogonaux donc les droites (D) et (D’) sont perpendiculaires.

Intersections

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Quand il y a 2 droites dans le plan, soit elles se coupent, soit elles ne se coupent pas. Dans ce cas, elles sont parallèles !


2 droites sont soit parallèles, soit sécantes, soit confondues !!


ATTENTION ! Il y a un cas particulier : si les droites sont confondues ! A ce moment-là elles se coupent (mais elles sont aussi parallèles), et leur intersection est la droite elle-même.
L’intersection de 2 droites est donc soit un point (elles sont sécantes), soit l’ensemble vide (elles sont parallèles), soit une droite (elles sont confondues).

Quand on te demande si 2 droites se coupent, il suffit donc de savoir si elles sont parallèles ou pas^^
Pour cela, on utilise encore les vecteurs directeurs ! Tout simplement parce que si les vecteurs sont colinéaires, les droites seront parallèles.
2 méthodes pour montrer que 2 vecteurs sont colinéaires ou pas :
1ère méthode :
Si = (x ; y) et = (x’ ; y’), on calcule xy’ – x’y :

Bien sûr si xy’ – x’y ≠ 0, les vecteurs ne sont pas colinéaires

Exemple : = (2 ; 4), = (7 ; 14)
xy’ – x’y = 2×14 – 4×7 = 28 – 28 = 0, donc les vecteurs et sont colinéaires !

2ème méthode :
Il faut savoir que :

On va donc cherche si il existe un tel k. S’il existe, les vecteurs seront colinéaires, sinon ils ne le seront pas.
On va donc suppose au début qu’il existe : supposons qu’il existe k tel que :

Si on reprend l’exemple précédent : = (2 ; 4), = (7 ; 14), cela nous donne :

d’où le système :

Donc il existe bien k = 2/7 qui vérifie la relation, les vecteurs sont donc colinéaires.

Voyons maintenant 2 vecteurs non colinéaires : = (2 ; 4), = (7 ; 11), cela nous donne :

d’où le système :

Il n’y a pas de solution au système, puisque k ne peut être égal à 2/7 et 4/11 en même temps.
Il n’y a donc pas de k qui vérifie la relation : les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

Projection orthogonale et distance

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Quand on a un point et une droite, on peut « projeter » ce point sur la droite : on trace la droite perpendiculaire à la droite passant par le point. L’intersection des 2 droites est le projeté orthogonal du point sur la droite :


H est le projeté orthogonal de A sur la droite (D)

La longueur AH est alors ce qu’on appelle la DISTANCE entre le point et la droite : c’est le plus court chemin entre le point et la droite. Cette distance se note d(A, D).
Si la droite a pour équation ax + by + c = 0, et si le point A a pour coordonnées A(xA ; yA,), la distance est alors donnée par :

On voit ici encore l’utilité de mettre l’équation de la droite sous la forme ax + by + c = 0.


Attention à ne pas oublier la valeur absolue au numérateur !!

Voyons un petit exemple :
Soit (D) la droite d’équation 3x – 4y + 1 = 0, et A le point de coordonnées (1 ; 8).
La distance du point à la droite est :

Si on avait oublié la valeur absolue, on aurait eu une distance négative, ce qui ne veut pas dire grand chose…

Droites remarquables

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Là on va faire des rappels de collège… qui ne seront pas superflus car beaucoup d’élèves oublient ou confondent les médiatrices, bissectrices, médiane…

La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] et qui passe par le milieu de [AB].


La médiatrice est perpendiculaire et passe par le milieu du segment

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Dans un triangle, on a 2 autres droites remarquables :
la médiane d’un côté est la droite qui passe par le milieu de ce côté et le sommet opposé à ce côté :


La médiane passe par le milieu d’un côté et le sommet opposé

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La hauteur d’un côté est la droite qui est perpendicualire à ce côté et qui passe par le sommet opposé au côté :


La hauteur est perpendiculaire à un côté et passe par le sommet opposé

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Il y a également la bissectrice d’un angle : c’est la droite qui coupe l’angle en deux angles égaux :


Une bissectrice coupe un angle en 2 angles égaux

Points remarquables

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Si dans un triangle on trace les droites précédentes, on obtient des points particuliers aux intersections que l’on va rappeler ici.

L’intersection des MEDIATRICES est le CENTRE DU CERCLE CIRCONSCRIT, c’est-à-dire celui qui passe par les trois sommets du triangle :

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L’intersection des MEDIANES est le CENTRE DE GRAVITE, c’est le centre de masse du triangle, c’est-à-dire que c’est le point d’équilibre du triangle, souvent noté G :

A noter que c’est aussi l’isobarycentre des sommets du triangle (on verra juste après les barycentres ).

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L’intersection des HAUTEURS est l’ORTHOCENTRE:

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L’intersection des BISSECTRICES est le CENTRE DU CERCLE INSCRIT, c’est-à-dire le cercle qui est tangent aux trois côtés du triangle :

Equation de cercle

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De même qu’il y a des équations pour les droites, il y a des équations pour les cercles.
Supposons que l’on a un cercle de centre A et de rayon R. Si on prend un point M de coordonnées (x ; y) sur ce cercle, on a alors :


et si on développe AM avec la formule vue tout au début, ça donne :


on met au carré :


et comme xM = x et yM = y :

Et voilà, on a l’équation d’un cercle de centre A de coordonnées (xA ; yA) et de rayon R !!

Exemple : on cherche l’équation du cercle de centre C (8 , -5) et de rayon 3
Il faut simplement remplacer dans l’équation, ce qui donne :

Ici le centre n’est pas A mais C mais ça revient au même, et il faut faire attention au « – » du -5, et donc ne pas oublier la parenthèse^^
Comme tu le vois il n’y a aucune difficulté à partir du moment où tu connais la formule

Barycentres

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On attaque maintenant une partie un peu plus compliqué (mais vraiment un petit peu ) : les barycentres.
Tu as de la chance ce n’est plus au programme du lycée, mais c’est toujours bien de savoir ce que c’est.

Un barycentre est un point défini à partir d’autres points qui sont affectés de coefficients. Si le point A a pour coefficient 2, on noetra (A;2). Le barycentre est très souvent noté G.
Si G est le barycentre du système {(A ; a) (B ; b) (C ; c)}, on a alors l’égalité :


ATTENTION ! C’est bien vecteur nul et pas 0 !! Comme on a des vecteurs à gauche, il faut un vecteur à droite !


ATTENTION aussi ! Le barycentre n’existe que si a+b+c ≠ 0, c’est-à-dire la somme des coefficients est non nulle. S’il y a plus de points il faut bien sûr additionner tous les coefficients^^

Bien sûr s’il n’y a que A et B on ne met pas C, et si il y avait en plus (D ; d) et (E ; e) par exemple, ce serait, et ainsi de suite s’il y avait d’autres points.

On a également une 2ème égalité : pour tout point M du plan :

Le point M peut être n’importe quel point, même A, B C ou G si l’on veut !! Tu remarqueras que si on remplaces M par G, on retrouve l’égalité du dessus

Une petite remarque de vocabulaire : si G est le barycentre du système {(A ; a) (B ; a) (C ; a)}, c’est-à-dire si tous les coefficients sont les mêmes, on dit que G est l’ISOBARYCENTRE des points A, B et C. Cela est bien sûr valable pour plusieurs points.
Comme on l’a dit tout àl’heure, le centre de gravité G d’un triangle est l’isobarycentre des trois sommets.

Par ailleurs, si G est le barycentre du système {(A ; a) (B ; b) (C ; c)}, on peut multiplier tous les coefficients par le même nombre. Ainsi, G est le barycentre du système {(A ; 3a) (B ; 3b) (C ; 3c)}
Cela peut être utile quand on a des fractions : si G est le barycentre du système {(A ; ½) (B ; ¼) (C ; ⅖)}, on peut multiplier par 20 : G est alors le barycentre du système {(A;20 × ½) (B;20 × ¼) (C;20 × ⅖)}, c’est-à-dire {(A;10) (B;5) (C;8)}, ce qui est quand même plus facile pour les calculs que les fractions

Bon ok mais comment on utilise tout ça ?
La 2ème formule, on l’utilisera juste après dans les ensembles de points.
La première formule, on peut l’utiliser pour calculer les coordonnées d’un point.
Exemple : G est le barycentre de {(A ; 2) (B ; 5)}, et les coordonnées de A sont (1 ; 4) et celles de B (3 ; 7). Cherchons les coordonnées de G.

et là on fait un système avec les x et les y :

on a plus qu’à résoudre le système pour trouver xG et yG !

Il y a bien sûr d’autres applications pour la 1ère formule, mais ce type de calcul se retrouve souvent dans les exercices.
On trouve peu souvent les barycentres dans les annales de bac, sauf pour les ensembles de points dont on parle juste après.


Ensemble de points

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Les ensembles de points, ce sont des figures comme des cercles, des carrés, des droites, etc… que tu dois trouver à partir de propriétés sur ces ensembles.
Les exemples ci-dessous sont les principaux que tu rencontreras, mais il peut y en avoir d’autres.

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Si on connaît le point A et un réel r, l’ensemble des points M tels que :

En effet, si AM = r, tous les points M sont équidistants de A, c’est donc un cercle.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

En effet, si AM = BM, tous les points M sont équidistants de A et B, ils sont donc sur la médiatrice.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

En effet, d’après une propriété vue en 4ème, si M est sur le cercle de diamètre [AB], le triangle MAB est rectangle en M, donc l’angle en M vaut π/2.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

Il faut poser SOI-MEME G = barycentre de {(A;4)(B;2)(C;-7)}.
Les coefficients sont bien sûr pris en fonction de ceux de l’exemple

Au passage on vérifie que G existe bien puisque 4 + 2 – 7 ≠ 0
On sait alors d’après la 2ème formule que

C’est là tout l’intérêt des barycentres : ils permettent de réduire une somme de vecteurs en un seul vecteur !!
On remplace alors dans l’équation de départ :

Et ici on retrouve la médiatrice comme au-dessus


Attention cependant !
A la fin on ne trouve pas toujours une médiatrice, on trouve parfois un cercle ou autre chose, cela dépend.
Cet exemple est surtout important pour la démarche au début, quand on pose G qui est barycentre des 3 points pour pouvoir simplifier les calculs. Dans cet exemple la conclusion n’est pas importante…

Il arrive que dans les questions précédentes on pose un point qui soit barycentre d’autres points. Tu n’as pas alors à poser toi-même que le point G est barycentre de patita patata…, l’énoncé l’a fait pour toi !
Il suffit alors de dire « d’après la question précédente etc… » et de continuer les calculs comme au-dessus. Cela est variable selon les exercices, tu auras parfois à poser toi-même un point barycentre, parfois non.

Intérêt de la géométrie dans le plan
La géométrie est une des grandes composantes des mathématiques, elle se retrouve donc dans de nombreux chapitres, notamment les complexes.

Ici nous n’avons fait que quelques rappels mais il y a d’autres éléments importants en géométrie comme l’aire ou le périmètre, qui ont des applications directes dans la vie de tous les jours, en architecture par exemple.
Les vecteurs, une des composantes de la géométrie dans l’espace, sont les bases des esapces vectoriels, que l’on étudie après le bac. Ces espaces vectoriels ont de nombreuses applications, notamment dans le domaine de la cryptographie.

Les rappels que nous avons fait ici servent aussi dans la géométrie dans l’espace, que tu as déjà vu rapidement en Seconde.
Ce chapitre est important puisque nous vivons dans un espace à trois dimensions. La géométrie dans le plan peut donc être vue comme une introduction des éléments fondamentaux à savoir pour la géométrie dans l’espace.

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8 réflexions sur “ La géométrie dans le plan ”

    1. Bonjour,

      Les coordonnées (x , y) d’un vecteur c’est de combien j’avance en x et en y en partant d’un point pour tracer le vecteur.

      Un vecteur directeur d’une droite c’est n’importe quel vecteur qui longe parfaitement la droite quand je le trace.

      Donc pour avoir un vecteur directeur tu prend deux points A et B sur la droite, et un vecteur directeur aura pour coordonnées (xB – xA , yB – yA)

  1. Bonjour,
    Tout d’abord, merci infiniment pour ce site fantastique, qui réussi à me faire comprendre certains domaines des mathématiques là où les explications incomplètes de nombres d’autres supports échouaient.

    Je ne doute pas qu’il y a une raison à cela (probablement la difficulté de filmer des exercices de géométrie), mais l’absence de ceux-ci et de leurs corrections est vraiment à déplorer dans cette section. En effet, je trouve qu’elle permet de vérifier si oui on non le principe et compris, et par son application, facilite la mémorisation.

    Cependant, merci infiniment pour ce site riche et utile !

  2. J’ai été obligée de reprendre les mathématiques après un BAC L et ce site me sauve la vie ! Il est vraiment clair dans ses explications et j’aime bien l’utilisation du tutoiement qui rend le tout très humain et donne un ton beaucoup plus détendu. Merci beaucoup !

  3. dsl mais y’a une qui erreur sur ton cours, en fait deux vecteurs son colineaires si et seulement le déterminant des deux vecteurs est nul et non quand le produit scalaire est nul, dans le cas où le produit scalaire des deux vecteurs est nul,ces vecteurs sont orthogonaux !

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