Géométrie dans l’espace

Sommaire

Les vecteurs
La relation de Chasles
Produit scalaire
Différence perpendiculaire/ orthogonal
Différence entre colinéaire et parallèle
Les plans
Equations de plan
Equations paramétrique de droite
Intersections
Plan médiateur
Distance et projection orthogonale
Equation de cercle
Barycentres
Ensemble de points
Annales de bac corrigées
Intérêt de la géométrie dans l’espace

Introduction
Ce chapitre est la suite logique du chapitre précédent : la géométrie dans le plan. De nombreuses choses sont quasiment similaires, ce pourquoi nous passerons rapidement sur certains éléments, car nous supposons que tu as déjà lu le chapitre précédent.
Si ce n’est pas le cas, nous t’invitons dès maintenant à lire le chapitre sur la géométrie dans le plan.

Comme pour les probabilités, les exercices font souvent intervenir plusieurs notions, il n’y aura donc des vidéos d’exercices qu’à la fin, mais ce seront des annales enrièrement corrigées

Les vecteurs
Comme en 2 dimensions, un vecteur a une direction, un sens et une norme. Ses coordonnées se calculent de la même façon, saauf qu’il y en a 3 :

Sa norme est donc de manière logique :

La relation de Chasles

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Ici ça va être très simple : la relation de Chasles est également valable dans l’espace, nous ne ferons donc aucune remarque particulière à ce niveau-là puisque nous en avons déjà parlé dans le chapitre précédent.
On rappelle juste la relation :

En gros, quand on a 2 vecteurs et qu’il y a la même lettre au milieu, cette lettre « disparaît » et il ne reste plus qu’un seul vecteur avec les 2 lettres qui restent.
Evidemment cette relation est vraie pour n’importe quelle lettre, pas seulement A, B et C^^

Produit scalaire

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Tu te souviens comment on calcule le produit scalaire dans le plan ? Et bien pour l’espace c’est quasiment pareil !
Exemple :

Comme dans le plan, on multiplie less x entre eux, les y entre eux, les z entre eux, et on additionne tout !

Différence entre perpendiculaire et orthogonal

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Perpendiculaire et orthogonal signifient pratiquement la même chose, avec une petite nuance. Cependant, on n’en tiendra pas vraiment rigueur en Terminale, donc ce n’est pas grave si tu n’as pas compris^^

Perpendiculaire, c’est quand deux droites se coupent à angle droit : elles sont donc sécantes.
Orthogonal, c’est plus large : dans l’espace, deux droites sont orthogonales si les projetés orthogonaux de ces droites sur un plan sont perpendiculaires, c’est-à-dire que les projetés des droites se coupent à angle droit.
Ca peut paraître compliqué mais en fait c’est simple

De toute façon, pour montrer que deux droites sont orthogonales ou perpendiculaires la méthode est la même : on calcule le produit scalaire de 2 vecteurs directeurs et on doit trouver 0.
Il faut remarquer que si c’est perpendiculaire, forcément c’est orthogonal, mais la réciproque n’est pas vraie.
Dans tout la suite nous dirons donc orthogonal (le plus général), comme ça il n’y aura pas de problème

Différence entre colinéaire et parallèle

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Là ça va être plus simple : il n’y a pas de différence à proprement parlé entre colinéaire et parallèle, ça veut dire la même chose.
Par contre, on dit que des DROITES sont PARALLELES, et des VECTEURS sont COLINEAIRES !!
Donc ne dis pas que des vecteurs sont parallèles, ce n’est pas correct. Même si généralement au lycée ce n’est pas pénalisé, habitue-toi dès maintenant pour plus tard, ça pourra te servir un jour

Les plans

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Un plan tu vois ce que c’est, mais comment le définir mathématiquement ?
Et bien il y a plusieurs façons, la plus courante étant de définir le plan par 3 points NON ALIGNES, autrement dit 2 vecteurs NON COLINEAIRES. Comme il peut être défini par trois points, par exemple A, B et C, on l’écrit entre parenthèses : (ABC).


ATTENTION ! Si tu oublies les parenthèses ça voudra dire le triangle ABC et non le plan (ABC)…

On voit que les 3 points ne sont pas alignés et forment donc un triangle, et si on « étire » ce triangle on voit apparaître le plan.
Souvent on te demande comme question au début de l’exercice : « montrer que les vecteurs et ne sont pas colinéaires », puis « que pouvez-vous en déduire ? ».
Il faut alors dire que comme les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et forment un plan

Tu te souviens que les droites étaient caractérisées par un vecteur directeur. Et bien un plan est caractérisé par un vecteur NORMAL.
Mais qu’est-ce-qu’un vecteur normal ?
C’est tout simplement un vecteur orthogonal au plan, c’est-à-dire orthogonal à au moins 2 vecteurs NON COLINEAIRES de ce plan.

Ainsi, pour montrer qu’un vecteur est normal à un plan, il faut montrer qu’il est orthongonal à 2 vecteurs NON COLINEAIRES de ce plan.
Mais on fait comment pour montrer qu’ils sont orthongonaux ?
Et bien on utilise… le produit scalaire !
On rappelle en effet que

Un petit exemple :
  
  

On suppose que l’on a montré que n’étaient pas colinéaires, donc A, B et C forment un plan.
Nous allons montré que est un vecteur normal au plan (ABC), il faut donc montrer qu’il est orthogonal aux 2 autres vecteurs, donc on calcule le produit sclaire :

de même

Donc est orthogonal à et qui sont 2 vecteurs NON COLINERAIRES du plan (ABC), il est donc orthogonal au plan (ABC).


ATTENTION ! Il faut bien justifier que les 2 vecteurs ne sont pas colinéaires, sinon c’est faux !

Remarque : quand 3 points appartiennent au même plan, on dit qu’ils sont COPLANAIRES. Ne sois donc pas étonné de voir ce moy dans les énoncés

Equation de plan

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Tu te souviens que dans le plan, une équation de droite est de la forme : ax + by + c = 0.
Et bien l’équation d’un plan dans l’espace ressemble beaucoup, il suffit de rajouter z :

Là encore il y a un avantage à l’écrire sous cette forme, car on sait qu’alors, un vecteur NORMAL au plan est :

Que l’équation du plan soit ax + by + cz + d = 0 signifie que tous les points du plan vérifient cette équation.
Par exemple, si le point A appartient au plan, ses coordonnées vérifient :

Par contre, si le pont K n’appartient pas au plan, alors

On va se servir de cela tout de suite dans l’exemple qui suit.
On peut te demander dans un exercice : « donner l’équation du plan de vecteur normal (3 ; -7 ; 4) passant par le point A (1 ; 5 ; 9) ».
On sait que le plan a pour équation ax + by + cz + d = 0, où a, b et c sont les coordonnées d’un vecteur normal.
On prend donc a = 3, b = -7, et c = 4 (les coordonnées du vecteur normal ) :

Il faut maintenant trouver le d : on sait que A appartient au plan, il vérifie donc l’équation :

On remplace alors dans l’équation de départ :

Et voilà, on a l’équation du plan !

Equation paramétrique de droite

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On attaque ici quelque chose de complètement nouveau par rapport à la géométrie dans le plan.
Dans le plan, une équation de droite était de la forme ax + by + c = 0. Dans l’espace, on fait complètement différemment, on fait un système avec un paramètre, que l’on notera t.
Si (D) est la droite de vecteur directeur = (a ; b ; c) passant par A, l’équation paramétrique de (D) est :

      

En faisant varier le t, on obtient tous les points de la droite.

Exemple : la droite de vecteur directeur = (2 ; 7 ; 5) passant par A(6 ; 8 ; 3) a pour équation paramétrique :

      

Bien sûr on peut prendre n’importe quel point de la droite et n’importe quel vecteur directeur de la droite. Par ailleurs, on peut appeler le paramètre par n’importe quelle lettre, ici on l’a noté t mais on aurait pu prendre p, m, k, j…
Evidemment, de manière réciproque, si l’on a l’équation paramétrique d’une droite, on peut trouver un vecteur directeur et un point de la droite :
Si (D) a pour équation :

      

Alors un vecteur directeur de la droite est = (9 ; -6 ; 7), et elle passe par le point de coordonnées (-4 ; 8 ; 13).


ATTENTION !! Les coordonnées du vecteur directeur sont bien les coefficients du paramètre, tandis que celle du point sont les coefficients constants !!
Or il peut arriver que ce soit un peu mélangé.
Exemple :
      
Ici un vecteur directeur est = (-5 ; 2 ; 6) et un point du plan a pour coordonnées (8 ; 3 ; 5)


Intersections

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Dans le plan c’était facile, on ne faisait que les intersections de droites. Dans l’espace c’est plus compliqué parce qu’il y a plus de formes…
Commençons par une droite et un plan : soit ils se coupent en un point, soit ils sont parallèles, soit ils sont confondus :

Pour savoir dans quelle situation on est, il faut voir si le vecteur normal au plan est orthogonal à un vecteur directeur de la droite (en calculant le produit scalaire par exemple) :


Si les vecteurs sont orthogonaux, la droite et le plan sont parallèles (ou confondus), sinon ils se coupent en 1 point.

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Pour 2 droites, c’est un peu particulier.
Il y a 3 possibilités : soit eles se coupent, soient elles sont parallèles et donc elles ne se coupent pas, soit elles ne sont ni l’une ni l’autre :

Pour le dernier cas on a fait une figure car c’est assez compliqué à représenter comme ça^^
On voit bien dans ce dernier cas que les droites ne se coupent pas et ne sont pas non plus parallèles

Dans les 2 premiers cas, on dit que les droites sont COPLANAIRES, cela signifie que l’on peut les mettre toutes les 2 dans le même plan.
En revanche, dans le dernier cas, les droites ne sont pas coplanaires car il n’existe pas de plan contenant les 2 droites.

Dans un exercice de bac corrigé, il faut montrer à un moment que 2 droites ne sont PAS coplanaires. Il faut donc montrer que l’on est dans le 3ème cas.
Pour cela, il faudra montrer que l’on est ni dans le 1er, ni dans le 2ème cas !
Retiens donc cette méthode^^

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2 plans sont soit parallèles, soit confondus, soit ils se coupent et alors leur intersection est une droite

Pour savoir la situation, il faut voir si les vecteurs normaux sont colinéaires ou pas : si oui, les plans sont parallèles (ou confondus), sinon ils se coupent selon une droite.

Si les deux vecteurs normaux sont colinéaires, les plans sont parallèles

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Une sphère et un plan sont soit disjoints, soit ils se coupent selon un cercle :

Un plan et une sphère sont disjoints ou se coupent selon un cercle

Pour savoir s’ils se coupent ou pas, il faut calculer la distance entre le plan et le centre de la sphère : si cette distance est plus petite que le rayon, les 2 se coupent, sinon ils sont disjoints

Il faut comparer le rayon avec la distance OH pour savoir si le plan coupe la droite ou pas.
H est le projeté orthogonal de O (centre de la sphère) sur le plan

A noter que dans le cas où l’intersection est un cercle, le projeté orthogonal H est alors le centre de ce cercle.

Il y a aussi le cas particulier où OH = R, à ce moment-là le plan et la sphère sont TANGENTS, et leur intersection est un point :

Si OH = R, le plan est tangent à la sphère en H

Il faut alors retenir la chose suivante : pour montrer qu’un plan est tangent à une sphère, il faut calculer la distance entre le centre de la sphère et le plan : si cette distance est égale au rayon de la sphère, alors le plan est tangent.
Il y a des exemples d’application dans les annales corrigées

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Tu remarques que les raisonnements se basent sur les vecteurs normaux et les vecteurs directeurs, pense donc à les utiliser si tu es bloqué à une question

Bon ça c’est pour savoir dans quelle situation tu es. Mais souvent on te demande l’équation de l’intersection (le point, la droite, ou le cercle).
Comment faire ?
C’est là que tu dois retenir quelques chose de fondamental : quand on cherche l’intersection de 2 éléments (1 plan, une droite, une sphère…), ON FAIT UN SYSTEME AVEC LES EQUATIONS DE CHAQUE ELEMENT !!!!!!!

Exemple : on cherche l’intersection du plan d’équation 2x – 3y + 5z + 1 = 0, et la droite dont l’équation paramétrique est :

      

On commence par faire le produit scalaire du vecteur normal du plan (2 ; -3 ; 5) et du vecteur directeur de la droite (1 ; 7 ; 4) :

Les 2 vecteurs ne sont pas orthogonaux, donc la droite coupe bien le plan.
On fait alors notre système avec l’équation du plan et LES équations de la droite :

Et on résout en remplaçant x, y et z dans la 1ère équation :


Et on remplace t dans les trois autres équations !

Et voilà ! On a x, y et z, qui sont les coordonnées du point d’intersection !
Le point d’intersection de la droite et du plan est donc le point de coordonnées (2 ; -20 ; -13).

Bien sûr on peut faire cela avec 2 droites, 2 plans, 1 plan et 1 cercle, etc… l’important est de mettre dans un seul système toutes les équations et de résoudre le système.

Plan médiateur

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Dans l’espace, on ne parle pas de médiatrice d’un segment [AB] mais de PLAN MEDIATEUR. Le principe est le même, c’est l’ensemble des points équidistants de A et B :

On se servira de cela plus tard, dans les ensembles de points.

Distance et projection orthogonale

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Dans le plan, nous avons vu comment calculer la distance d’un point à droite et comment construire le projeté orthogonal.
Dans l’espace, on calcule la distance d’un point à un PLAN et on projette le point sur ce plan.
Pour cela, on trace le vecteur normal au plan passant par le point :

H est le projeté orthogonal de A sur le plan

La distance du point au plan, notée d(A,P), est la longueur AH, et est donnée par :

Comme tu le vois ça ressemble très fortement à la formule en 2 dimensions, on a juste rajouté la troisième coordonnée

Equation de cercle

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Dans l’espace, l’équation d’un cercle est quasiment la même que dans le plan !
Nous te donnerons donc directement la formule sans démonstration, c’est la même que celle dans le chapitre précédent, mais il y a une coordonnée en plus : z.
Tu peux toujuors t’amuser à refaire la démonstration pour 3 dimensions

L’équation d’un cercle de centre A et de rayon R est :

Exemple : donner l’équation du cercle de centre B (4 ; -6 ; 3) et de rayon 8.
Il suffit de remplacer :

Barycentres

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Dans l’espace c’est facile, les formules sont exactement les mêmes que dans le plan !
Ainsi, si G est le barycentre du système { (A ; a) (B ; b) (C ; c) }, on a alors l’égalité :

et pour tout point M de l’esapce :

La seule différence c’est bien sûr quand on fait les calculs, il y a trois coordonnées au lieu de 2.
Par exemple, si on cherche les coordonnées de G, barycentre de {(A ; 2) (B ; 5)}, sachant que les coordonnées de A sont (1;4;5) et celles de B (3 ; 7 ; 6), on écrit :

et là on fait un système avec les x et les y :

et on résoud le système pour trouver xG, yG et zG

Ensemble de points

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En Terminale on ne voit généralement que 2 ensembles de points, ce qui sera plus simple qu’en 2 dimensions.

Si on connaît le point A et un réel r, l’ensemble des points M tels que :

En effet, si AM = r, tous les points M sont équidistants de A, c’est donc une sphère. En 2 dimensions c’était exactement pareil sauf que c’était un cercle et non une sphère.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

En effet, si AM = BM, tous les points M sont équidistants de A et B, ils sont donc sur le plan médiateur dont on a parlé tout à l’heure .


Tout point M du plan médiateur est équidistant de A et B

Annales de bac corrigées
Comme promis nous te donnons le lien vers des annales de bac corrigés

Sache cependant que comme il n’y a pas eu de vidéos depuis le début, il faut bien avoir assimilé le cours pour pouvoir les faire, notamment toutes les petites propriétés et définitions.
Clique ici pour accéder aux vidéos.

Intérêt de la géométrie dans l’espace
Tout comme la géométrie dans le plan, la géométrie dans l’espace se retrouve dans de nombreux domaines.

Comme nous vivons dans un espace à 3 dimensions, la géométrie dans l’espace s’applique bien sûr à notre environnemment, que ce soit pour l’architecture ou les écrans 3D arrivés depuis peu sur le marché

La géométrie en 3 dimensions peut être vue comme est une approche des espaces à plusieurs dimensions, les espaces vectoriels, dont nous avons parlé avec la géométrie dans le plan
Mais comme tu l’as vu, il y a de nombreux points communs entre la 2D et la 3D, les méthodes de calcul et de raisonnement étant souvent les mêmes.

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19 réflexions sur “ Géométrie dans l’espace ”

  1. Super site ! Les explications sont faciles à comprendre, j’utilise beaucoup ce site pour mes révisions pour le bac ! Merci beaucoup pour ce super travail ! <3

  2. A nouveau je vous remercie pour cet excellent travail!
    Je poursuis mon chemin. Une embûche cependant: comme l’ont signalé quelques internautes, le lien afférent aux vidéos concernant la géométrie dans l’espace ne fonctionne pas.
    Si vous pouvez remédier à cela…
    Bien cordialement

  3. Bonjour,
    Je pense que vous avez fait une erreur pour le vecteur directeur.
    Ses coordonnées sont bien (-b;a), non?
    Merci pour le cours

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