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Les fonctions réciproques

Sommaire

Notion de bijection
Qu'est-ce-qu'une fonction réciproque ?
Exemples de fonctions réciproques
Racines et carrés
Graphiquement
Exemples en géométrie
Calcul de la fonction réciproque
Conclusion

Introduction



Les fonctions réciproques ne sont pas un chapitre à proprement parler que l'on étudie à l'école.
Cette section est donc plus destinée à ta culture mathématique, pour que tu saches ce que cela signifie, en plus ce n'est pas très compliqué^^

Notion de bijection



Avant de parler directement de fonctions réciproques, il faut d'abord dire ce qu'est une bijection. Une bijection est une application dont tous les éléments de l'ensemble d'arrivée ont un unique antécédent

Plus clairement, ça veut dire que si on a 2 ensembles, les points sont reliés 2 à 2. Chaque point d'un ensemble est relié à un UNIQUE point de l'autre ensemble :


On dit que f définit une bijection ou que f est une fonction bijective


On voit que les points sont associés de manière unique, dans un sens comme dans l'autre !
Chaque image a un seul antécédent.
f -1 est l'application réciproque de f (on en parlera tout à l'heure).

Par contre, ceci ne représente PAS une bijection :



En effet, k a DEUX antécédents (b et c) alors que L n'en a AUCUN !!

Qu'est-ce-qu'une fonction réciproque ?

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Pour faire simple, une fonction réciproque, c'est l'application "inverse" d'une fonction.
On note souvent f -1 la fonction réciproque de f.
Ces deux fonctions sont des bijections.

Prenons un exemple de la vie courante pour que tu comprennes mieux :
si f est "avancer de 3 pas", f -1 est "reculer de 3 pas".
si f est "gagner 10 euros", f -1 est "perdre 10 euros".

Tu l'auras compris, le principe est le suivant : quand on applique f puis f -1 ou f -1 puis f, on revient au point de départ !!

Mathématiquement, cela s'écrit de la manière suivante :


ou encore



Prenons l'exemple de tout à l'heure :


On a f(a) = j, et f -1(j) = a. Calculons alors f(f -1(j)) :

f(f -1(j)) = f(a) car f -1(j) = a
= j car f(a) = j

On a donc f(f -1(j)) = j !!
On retrouve notre formule
Bien sûr on peut faire ça avec tous les autres points^^

Attention cependant !!
Pour les points de gauche (a, b et c) ce sera f -1(f(x)) et pour ceux de droite (j, k et l), ce sera f(f -1(x)).
En effet, f(f -1(a)) ne veut rien dire, car f -1(a) n'existe pas...
Ceci est un détail, si tu n'as pas compris ce n'est pas grave, ne te casse pas la tête avec ça

Exemples de fonctions réciproques

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Dans la partie Cours, il y a 2 fonctions réciproques étudiées en détail : ln et exponentielle.
En effet, on a :


et



On peut dire que les deux fonctions "s'annulent", ou "se compensent" mais ce n'est pas très mathématique de dire ça, c'est plus pour retenir le principe
Pour les fonctions trigonométriques, c'est très simple : on rajoute "arc" devant :










La fonction réciproque de sin est donc arcsin, celle de cos est arccos, et celle de tan est arctan, tout simplement !

ATTENTION !! Certaines formules ci-dessus ne sont pas vraies pour tout x, mais seulement sur certains intervalles. Cela est dû aux propriétés de ces fonctions.
Mais ne te prend pas la tête avec ça, tu étudieras tout cela en détails après le bac si tu continues des études de mathématiques. Ici ce qu'il faut retenir c'est le principe général.

Racines et carrés

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Il y a cependant un piège qu'il faut absolument connaître !

Prenons la fonction racine carrée. On pourrait se dire que la fonction réciproque est la fonction carrée, puisque :



Oui mais voilà, il faudrait que linverse soit vrai aussi, c'est-à-dire que


OR CECI N'EST PAS VRAI !!!

La vraie formule est :


(|x| est la valeur absolue de x)

Alors comment faire ??
Et bien on sait que si x est positif, |x| = x.
De plus, dans la 1ère formule on avait √x, donc x était positif !!

Les fonctions racine carrée et carrée sont donc bien des fonctions réciproques mais sur R+ !!
Cela est dû notamment au fait que la fonction racine carrée n'est définie que sur [0 ; +∞[, c'est-à-dire R+

Pour x positif, on a bien :


et



Il en est de même pour toutes fonctions puissances, puisque :


et


POUR X POSITIF !!!

La fonction réciproque de xa est donc x1/a mais pour x positif !

A noter une petite particularité, la fonction réciproque de 1/x est... 1/x !! Puisque :



Graphiquement

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Graphiquement c'est très simple, les courbes des représentatives fonctions f et f -1 sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x (la diagonale) :


Les fonctions exponentielle et ln sont réciproques, et donc symétriques par rapport à y = x



Les fonctions carrée et racines carrée sont également réciproques mais seulement sur [0 ; +∞[ !!



La fonction inverse est symétrique par rapport à elle-même, sa récirpoque est donc elle-même^^


Exemples en géométrie

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En géométrie, il existe également des applications réciproques. Cependant nous parlerons plutôt de "tranformations" et non de fonctions, mais cela revient au même^^ Avec un tableau ce sera plus clair, mais si tu ne sais pas ce qu'est une homothétie ou une rotation, regarde d'abord cette partie du chapitre sur les complexes


Transformation Transformation réciproque Explication
Translation de vecteur Translation de vecteur On "avance" de , puis on "recule" de
Homothétie de centre O et de rapport k Homothétie de centre O et de rapport 1/k On multiplie la longueur par k, donc on la divise ensuite par k
Rotation de centre O et d'angle θ Rotation de centre O et d'angle -θ On tourne dans un sens puis dans l'autre pour revenir au point de départ
Symétrie centrale de centre O Symétrie centrale de centre O Le symétrique du symétrique c'est... lui-même !
Symétrie axiale d'axe (Δ) Symétrie axiale d'axe (Δ) Pareil qu'au-dessus^^

Calcul de la fonction réciproque

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Nous allons prendre un petit exemple pour voir comment calculer la fonction réciproque.
Nous ne nous attarderons pas sur certaines hypothèses à vérifier (notamment les intervalles ou tout cela est vrai), ce n'est pas le but, nous allons voir principalement le calcul :
On prend la fonction :


sur ] -1 ; 1]

La méthode est la suivante : au lieu d'écrire


on écrit


(ça revient au-même)

Le but à la fin est d'avoir non pas y = patati patata... mais x = truc muche. Autrement dit le but est d'isoler x.
Et à ce moment-là, la fonction f -1 sera truc muche^^

On a donc :










c'est-à-dire



Et voilà, on a bien trouvé x = ... On sait alors que :



Le principe est toujours le même, mais les calculs sont parfois beaucoup plus compliqués que ça^^

Conclusion



Tu n'utiliseras certainement pas toutes ces notions dans les contrôles, mais ce chapitre est destiné à te montrer ce qu'est une fonction réciproque.
Il est en effet intéressant de remarquer que des fonctions que tu utilises régulièrement, comme racine ou la fonction carrée, sont symétriques par rapport à la diagonale...

En terminale, on utilise souvent le théorème des valeurs intermédiaires aussi appelé théorème de bijection.
Beaucoup d'élèves utilisent ce théorème sans savoir ce qu'est une bijection... mais maintenant, toi, tu le sais


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