Sommaire

Exercice 1
Exercice 2
Intégrale impropre classique
Intégrale de exp(-t²)
Calcul de primitives
Règles de Bioche
Circulation d’un champ de vecteurs
Changement de variable en 2d : le jacobien
Formule de Green-Riemann
Intégrale de 1/(1+t²)²

Exercice 1
Il s’agit de calculer l’intégrale suivante :

avec le changement de variable :

Exercice 2

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Même exercice, il s’agit de calculer l’intégrale suivante :

avec le changement de variable :

On rappelle la dérivée de argsinh :

Intégrale impropre classique avec changement de variable en polaire

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Nous allons calculer une intégrale impropre très classique après avoir justifié son existence :

Intégrale de exp(-t²)

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Nous allons maintenant calculer la même intégrale mais d’une manière totalement différente.
On pose :

Pour tout réels positifs ou nuls x et y, on pose :

1) Calculer :

2) En posant t = y√x, puis z = √x, montrer que :

3) Calculer I.

Calcul de primitive

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Il s’agit cette fois-ci de calculer la primitive de la fonction suivante à l’aide d’un changement de variable :

Le changement de variable n’est pas donné, il faut le trouver tout seul^^

Règles de Bioche

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Nous allons calculer les intégrales suivantes en utilisant les règles de Bioche :

Même énoncé mais avec l’intégrale suivante :

Circulation d’un champ de vecteurs

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Soit deux réels a et b. On considère les points I(a ; 0 ; 0), J(0 ; b ; 0) et K(a ; b; 0), ainsi que le champ :

Calculer la circulation de ce champ de vecteurs sur OIK, puis sur OJK.
Vérifier le résultat en utilisant une propriété du cours.

Changement de variable en 2d : le jacobien – calcul d’aire

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Pour la première vidéo :
Soit D = {(x ; y) ∈ R² | 4 ≤ x² + y² ≤ 9, y ≥ 0}
Calculer A_D de deux manières différentes.

Pour la deuxième vidéo :
Soit D = {(x ; y) ∈ R² | 0 ≤ x² + y² ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Calculer A_D puis calculer :

Formule de green-Riemann

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1er exercice
Calculer :

avec

2ème exercice
Calculer :

avec

Intégrale de (1 + t²)²

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Calculer :

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