Exercices sur la divergence, le gradient, le rotationnel et le laplacien

Sommaire

Calcul du gradient
Calcul de la divergence
Calcul du rotationnel
Calcul du laplacien scalaire et démonstration d’une formule
Calcul du laplacien vectoriel
Montrer que rot(grad(f)) = 0
Montrer que div(rot(u)) = 0
Montrer qu’un vecteur dérive d’un potentiel et le calculer

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Calcul du gradient

Calculer

$\vec{grad}(f)$

avec :

$f(x \, ; \, y \, ; \, z) = 3x^2 + 8y -7e^z + 9$

puis

$f(r \, ; \, \theta \, ; \, z) = 5r^2 + 2cos(\theta) -3rz$

Calcul de la divergence

Calculer :

$div(\vec{u})$

avec :

$\vec{u} = \left(\begin{array} 3x - 2z \\ 8x^2 - 9\sqrt{y} + 3yz \\ 7x - 2y^3 \end{array}\right)$

puis avec :

$\vec{u} = \left(\begin{array} 3r^5 + 2\theta \\ 7r - 2sin(\theta) + 3z \\ 8r^2 + 7z\end{array}\right)$

Calcul du rotationnel

Calculer :

$\vec{rot}(\vec{u})$

avec :

$\vec{u} = \left(\begin{array} 3xy - 5z \\ xz^2 - 2y^3 \\ x + 3e^z \end{array}\right)$

Calcul du laplacien scalaire et démonstration d’une formule

Calculer :

$\Delta f$

avec :

$f(x \, ; \, y \, ; \, z) = 3x^2y + 7 e^{3y} - 9cos(z)$

Montrer par ailleurs que :

$\Delta f = div(\vec{grad}(f))$

Calcul du laplacien vectoriel

Calculer :

$\vec{\Delta}(\vec{u})$

avec :

$\vec{u} = \left(\begin{array} 8xyz^2 \\ 7e^{3z} \\ cos(y) + x^3 \end{array}\right)$

Montrer que rot(grad(f)) = 0

Montrer que :

$\vec{rot}(\vec{grad}(f)) = \vec{0}$

La démonstration sera faite en coordonnées cartésiennes.

Montrer que div(rot(u)) = 0

Montrer que :

$div(\vec{rot}(\vec{u})) = 0$

La démonstration sera faite en coordonnées cartésiennes.

Montrer qu’un vecteur dérive d’un potentiel et le calculer

Montrer que le vecteur :

$\vec{V} = \left(\begin{array} y \\ x + z \\ y + 2z \end{array}\right)$

dérive d’un potentiel et calculer ce potentiel.

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