Les complexes

Sommaire

Qu’est-ce-qu’un complexe ?
Représentation graphique
Module et argument : forme exponentielle
Calcul du module et de l’argument
Lien avec le cercle trigonométrique
Le i de la partie imaginaire
Le conjugué
Formules à connaître
Quantité conjuguée
Equation du second degré
Homothétie, translation, rotation
Point invariant
Application à la géométrie
Une vidéo sur les complexes !
Annales de bac corrigées
Intérêt des complexes

Introduction
Contrairement à ce que pourrait laisser supposer leur nom, les complexes, c’est pas compliqué ! …
Le cours est assez simple, mais comme beaucoup de notions se recoupent dans les exercices, il y aura peu d’exercices en vidéo, mais on t’a préparé plein d’annales en vidéo
Bon allez, passons aux choses sérieuses !

Qu’est-ce-qu’un complexe ?
Un complexe se note souvent z, et s’écrit sous la forme z = a+ib, avec a et b réels, par exemple 3+4i, 5-2i, -8+7i…
a est la partie REELLE, tandis que b est ce qu’on appelle la partie IMAGINAIRE. Le i t’indique que c’est le b qui est la partie imaginiaire (i comme imaginaire, c’est facile à retenir ).


Attention ! Si z = 2 + 3i, la partie imaginaire est 3, et non 3i !!
Dans la partie imaginaire il n’y a pas le i, le i ne sert qu’à indiquer qui est la partie imaginaire.

On reviendra plus en détails sur ce i.

La partie réelle de z se note Re(z) et sa partie imaginaire Im(z).
Tu sais déjà que l’ensemble des nombres réels se note , et bien l’ensemble des nombres complexes se note…, comme complexe, tout simplement
Mais un complexe, qu’est-ce-que ça représente concrètement ?

Représentation graphique

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Un complexe est en fait un point dans le plan. La partie réelle correspond aux abscisses, la partie imaginaire correspond aux ordonnées.
Si on note zA = 3+2i, cela signifie que les coordonnées de A sont 3 en abscisse et 2 en ordonnée.
Si on note zB = -4+3i, cela signifie que les coordonnées de B sont -4 en abscisse et 3 en ordonnée :


La partie réelle se trouve en abscisse, la partie imaginaire en ordonnée


Attention ! On note bien zA dans les calculs, mais sur le graphique on note A.
On dit que zA est l’AFFIXE du point A.
Donc ne pas mettre zA sur le graphique, ça ne veut rien dire !

Module et argument : la forme exponentielle

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Pour repérer un point dans le plan, on peut donc donner sa partie réelle et sa partie imaginaire (autrement dit son abscisse et son ordonnée). Mais on peut aussi le repérer grâce à son module et son argument.
Le module de A, c’est la DISTANCE entre le point A et l’origine du repère, O.
L’argument de A, c’est l’ANGLE entre l’axe des abscisses et et la droite (OA).


Le module est une longueur, l’argument est un angle

Le module se note |zA|, et l’argument se note arg(zA), et souvent on le note θ (prononcer téta), et l’angle est quasiment toujours en radians, pas en degrés.
Tu dois alors savoir que si |zA| = r, arg(zA) = θ, on a alors :

c’est ce qu’on appelle la FORME EXPONENTIELLE.

Calcul du module et de l’argument

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Bon maintenant il faut savoir comment calculer le module et l’argument !
Pour le module c’est très simple :


Attention !! Il ne faut pas prendre le i dans la formule du module !
C’est bien b2 et non (ib)2

Exemple :
Si zA = 3-4i

Bien sûr comme le module est une longueur, le module est toujours positif, cela va de soi !

Bon et l’argument on le trouve comment ??
Il faut d’abord calculer le module, puis on FACTORISE PAR LE MODULE.
Par exemple, si zB = 2 + 2i

On factorise alors par 2 √ 2 :

Maintenant, il faut bidouiller dans le racine pour obtenir des cosinus et des sinus que l’on connaît. Il faut donc trouver 0, ½, √2/2, √3/2, ou 1.
Ici, on multiplie en haut et en bas par √2 pour avoir √2/2

Et voilà le travail !
A ce moment-là, on sait que le cosinus de θ est la partie réelle de ce qu’il y a dans le parenthèse, et le sinus de θ est la partie imaginaire.
On trouve alors θ en faisant un système :

Pour résoudre ce système, il suffit de connaître le cercle trigonométrique !! Il est fondamental que tu connaisses celui-ci PAR COEUR, car tu l’utiliseras souvent, et il ne faut absolument pas que tu perdes de temps là-dessus.
Nous t’avons fait un cercle trigo animé pour que tu t’en souvienne mieux
Ici on trouve bien sûr θ = π/4
On a donc zB = 2√2eiπ/4

Fais ces quelques exemples en vidéo pour t’entraîner à calculer la forme exponentielle des complexes.


Attention !! Parfois on te demande de trouver le module et l’argument à partir d’une forme exponentielle.
Par exemple si zc = 4eiπ/6, le module est 4 et l’argument π/6, pas de problème.
Mais il peut y avoir un piège !
Par exemple, zA = -3eiπ/8. Tu te dis le module est -3 et l’argument π/8.
Heuuu un module négatif ça N’EXISTE PAS !!
Comment on fait alors ? Et bien on dit que -3 = -1 x 3 = e × 3, puisque -1 = e
On a alors zA = 3e × eiπ/8 = 3 ei (π + π/8) = 3e9iπ/8
Et là oui, tu peux dire que le module est 3 (qui est bien positif) et l’argument π/8.
Vérifie donc toujours que le module est bien positif dans la forme exponentielle…

Le i de la partie imaginaire

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On a vu que pour montrer qui était la partie imaginaire on mettait un i avec, comme 3+2i par exemple.
Il y a alors une propriété TRES importante à retenir sur le i :

mais normalement un carré c’est toujours positif !! C’est quoi ce délire ??
Je te rappelle que i signifie la partie imaginaire, tout est donc possible dans un pays imaginaire…
Bon il va falloir que tu retiennes cette propriété car on l’utilise très souvent.

Un petit exemple pour te montrer quand on l’utilise :
P = (3+4i) × (5-2i)
P = 3×5 – 3×2i + 4i×5 – 4i×2i
P = 15 – 6i + 20i – (-8) car i2 = -1, donc 4i × 2i = -8
P = 15 + 14i + 8
P = 23 + 14i
Et voilà, tu vois à quoi ça sert !

Il est important de savoir graphiquement où est i. En fait, i = 0 + 1i, les coordonnées de i sont donc (0 ; 1) :

On voit bien sûr que :

Lien avec le cercle trigonométrique

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Les points du cercle trigonométrique peuvent être repérés avec leur abscisse et leur ordonnée, mais parfois il est bien plus simple de les repérer avec leur module et leur argument !
Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, le module des points du cercle est 1. Ils sont donc de la forme e. Certains points particuliers sont notamment à connaître :

Le conjugué

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Le conjugué se note , et ça se prononce z barre.
C’est très simple, le i devient -i !
Si z = 8+2i, = 8-2i
Si z = 6-2i, = 6+2i


ATTENTION ! Si z = 8i+4, = -8i+4
Il ne faut pas aller trop vite et juste changer le signe au milieu, c’est bien le i qui devient -i !!! Donc si la partie imaginaire est au début comme ici, il faut faire attention… Nous en reparlerons tout à l’heure.

Graphiquement, le conjugué de z est le symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Si par exemple zA’ =


A’ est le symétrique de A par rapport à l’axe des abscisses, c’est le conjugué

Evidemment certaines formules évidentes apparaissent :


On voit bien que les modules (en vert) sont les mêmes, mais que les arguments sont dans le sens opposé

Formules à connaître

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Plusieurs formules relatives au module, à l’argument et au conjugué sont à connaître. Certaines sont évidentes avec le graphique, et les démonstrations sont souvent très simples (tu peux t’amuser à les démontrer ) :

Le module


PAR CONTRE ATTENTION !!!

C’est l’inégalité triangulaire vue dans le chapitre sur la valeur absolue

L’argument

On remarque que l’argument a les mêmes propriétés que la fonction ln, puisque ln(ab) = ln(a) + ln(b), et ln(a/b) = ln(a) – ln(b). Si tu connais les formules pour ln, il est très facile de s’en souvenir pour l’argument

Pour te souvenir de cette dernière formule, dis-toi que l’on prend les lettres à partir de la fin (ici DCBA) et que dans l’argument on les écrit de gauche à droite, de haut en bas, comme le Z de Zorro !

Le conjugué

Cas particuliers à connaître


m est un réel

Exemples :

Cela peut paraître un peu lourd de retenir tous ces formules, mais en fait elles sont très simples et la plupart sont intuitives, logiques.
Retiens donc l’idée principale et ne t’acharne pas à les apprendre par coeur, tu les mémoriseras au fur et à mesure des exercices.

Quantité conjuguée

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La quantité conjuguée n’est pas quelque chose de nouveau, c’est juste une petite méthode. Comme son nom l’indique, cela est lié au conjugué.
Cette méthode s’utilise quand on a des fractions avec des complexes au numérateur et au dénominateur, par exemple :

Imaginons que l’on veuille la partie réelle et la partie imaginaire de zA. Là tout de suite ce n’est pas évident, on ne peut rien dire. Ce qu’il faudrait c’est qu’il n’y ait plus de i au dénominateur.
Comment on fait ?
Et bien on multiplie en haut et en bas par la « quantité conjuguée », c’est-à-dire le conjugué du dénominateur.
Ici le dénominateur vaut 4-5i, donc on miltiplie en haut et en bas par son conjugué, c’est-à-dire 4+5i.

On développe :

Et là, Ô miracle, il n’y a plus de i au dénominateur !! Il ne reste plus qu’à séparer les deux :

On peut maintenant dire que la partie réelle est 2/41 et la partie imaginaie 23/41.


ATTENTION !! Souvent les élèves vont trop vite et ont tendance à faire une erreur classique : ils se contentent de changer le signe au lieu de transformer le i en -i.
Exemple :

Une erreur classique consiste à faire :

Ce n’est pas faux mais 3i – 5 n’est pas le conjugué de 3i + 5 !!!!!
Il ne faut pas changer bêtement le signe du milieu sans réfléchir, c’est bien le i qui devient -i !
Il faut donc multiplier en haut et en bas par -3i + 5 :

Et après on continue le calcul comme on a fait tout à l’heure.

Equation du second degré

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Les complexes ont un rôle fondamental : résoudre certaines équations du second degré du type az2 + bz + c = 0. Tu sais déjà faire ça en calculant Δ = b2 – 4ac…
Ok mais comment tu fais quand Δ est négatif
C’est là que les complexes interviennet !
Si Δ est négatif, les racines sont alors des complexes et la formule est :

Tu remarques que ce sont les mêmes formules que si Δ est positif à deux détails près : le i devant la racine, et la valeur absolue pour le Δ ce qui est normal puisque Δ est négatif et qu’il est dans la racine^^
Voyons bien sûr un petit exemple : résolvons 5z2 + 2z + 1 = 0
Δ = b2 – 4ac = 22 – 4 x 5 x 1 = 4 – 20 = -16
On voit que Δ est négatif, on applique donc la formule ci-dessus :

    et    

On remarque que z1 et z2 sont bien sûr conjugués, puisque la seule différence est le i qui devient -i.
Mais ATTENTION ! Cela n’est vrai que si a, b et c sont réels, s’ils sont complexes cela n’est plus vrai du tout !! Cependant en terminal tu ne devrais voir que des cas où a, b et c sont réels.

Fais ces quelques équations du second degré avec solution complexe pour t’entraîner un peu

Homothétie, translation, rotation

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Cette partie n’est plus au programme de Terminale S, tu t’en serviras donc peut-être après le bac.

Avec les complexes, il y a 3 applications à connaître : homothétie, translation, rotation. Nous allons voir les formules de chacune, qu’il faut savoir par coeur bien sûr

L’antécedent est souvent noté M, et son affixe z, l’image est noté M’, et son affixe z’.
Les homothéties et les rotations ont un centre noté Ω d’affixe zΩ

Translation

C’est le cas le plus simple : pour une translation de vecteur a :

a est bien sûr un complexe. Par exemple : z’ = z + 2 + 3i.

Homothétie

Pour une homothétie de rapport k et de centre Ω :

Il faut alors retenir que :

On s’en sert parfois dans les exercices.
Graphiquement ça donne cela :

Rotation

Pour une rotation d’angle θ et de centre Ω :

On remarque que c’est la même formule que pour l’homothétie mais avec e i θ à la place de k
Il faut retenir que :


et

Graphiquement :

Point invariant

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Les applications que l’on vient de voir sont des applications particulières, mais il existe dess applicaitons de toutes sortes qui n’ont pas forcément de nom. Par exemple :

On te demande parfois de trouver les POINTS INVARIANTS.

C’est tout simple, invariant veut dire qu’il ne bouge pas, donc son image est lui-même :

Il suffit donc de résoudre z’ = z :

Et là on retrouve une équation du second degré (que tu résouds avec la méthode vue avant bien sûr^^), on aura donc 2 solutions, donc 2 points invariants !!

Il arrive parfois d’avoir une infinité de points invariants, comme une droite ou un cercle par exemple.

Mais la méthode est toujours la même : pour trouver les points invariants, on résoud z’ = z !!

Les 3 applications vues avant sont cependant particulières et il n’y a pas besoin de résoudre z’ = z :
– pour une translation,il n’y a pas de point invariant ;
– pour les rotations et les homothéties, il n’y a qu’un seul point invariant : le centre Ω.

Application à la géométrie : ensemble de points

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On trouve souvent dans les exercices de géométrie des questions du type « trouver l’ensemble des points M tels que… ».
Ce type de questions peut se faire avec des complexes, mais pas tout le temps !
Nous allons décrire ici les ensembles de point avec les complexes. Pour ce type de questions sans utilisation des complexes, tout est marqué dans le chapitre Géométrie dans le plan

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Si on connaît le point A et un réel r, l’ensemble des points M tels que :

En effet, |zM – zA| = r signifie AM = r : ce sont donc tous les points M sont équidistants de A, c’est donc un cercle.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

En effet, |zM – zA| = |zM – zB| signifie AM = BM, tous les points M sont équidistants de A et B, ils sont donc sur la médiatrice.

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Si on connaît les points A et B, l’ensemble des points M tels que :

En effet, cela signifie que :

Donc l’angle est un angle droit.
Or d’après une propriété vue en 4ème, si M est sur le cercle de diamètre [AB], le triangle MAB est rectangle en M, donc l’angle en M vaut π/2.

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L’ensemble des points M tels que :

et l’ensemble des points M tels que :

Ceci se voit très bien sur le schéma


ATTENTION !! Si c’est π/2 + kπ (c’est-à-dire modulo π), on a bien toute la droite des ordonnées.
Mais si on a seulement π/2 (sous-entendu modulo 2π), il n’y a que la demi-droite des ordonnées positives !
De même s’il n’y a que -π/2, il n’y a que la demi-droite des ordonnées négatives.
Il en est bien sûr de même pour l’axe des abscisses :

Ici on suppose à chaque fois que c’est modulo 2 π

Il y a d’autres ensembles de points possibles avec les complexes, mais ceux-ci sont les principaux que tu es suceptible de rencontrer en Terminale.

Une vidéo sur les complexes

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Pour terminer le chapitre sur les complexes, nous te proposons une vidéo très bien faite, dont nous avons déjà parlé dans la partie Vidéos intéressantes, de la section Bonus.
Ce n’est pas Méthode Maths qui l’a réalisée mais Dimensions, un autre site sur les mathématiques.
Ceci est la 5ème vidéo, mais il y en a 9 au total. N’hésite pas à aller voir ce très beau site qui te permettra de voir plein de jolies choses que l’on peut faire avec les maths

Annales de bac corrigées
Comme promis nous te donnons le lien vers des annales de bac corrigés

Sache cependant que comme il y a eu peu de vidéos depuis le début, il faut bien avoir assimilé le cours pour pouvoir les faire, notamment toutes les petites propriétés et définitions.
Clique ici pour accéder aux vidéos.

Intérêt des complexes
Les complexes ont différentes utilisations, nous n’en citerons que quelques unes.
Comme on l’a vu, i2 = -1. Les équations du type x2 = -k, avec k postif peuvent donc maintenant être résolues, les solutions sont i√k et -i√k. Cela a plusieurs applications, notamment dans certaines équations différentielles.
Les complexes permettent également de résoudre des équations du second degré quand Δ est négatif comme on l’a montré auparavant.
La forme exponentielle a de nombreux avantages, elle permet par exemple de simplifier certains calculs compliqués. C’est le cas notamment en électricité quand on utilise la notation complexe, mais on ne le voit pas en Terminale.

Les cosinus et les sinus sont étroitements liés au complexe et plus précisemment à la forme exponentielle :

Ceci n’est pas au programme de terminale, mais cela permet de simplifier certains calculs, notamment en utilsant les propriétés de la fonction exponentielle.

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20 réflexions sur “ Les complexes ”

  1. Si j’étais tombé sur ce site il y a deux ans, j’aurai eu de meilleurs résultats en maths c’est la complexité des cours, et les profs qui veulent justent finir leurs programmes qui m’ont dégouté des maths avec ses cours simples et complets j’ai repris goût !
    Un grand merci ^^

  2. J’apprécie beaucoup; c’est très riche! Mais, j’aimerais bien vouloir demander à METHODEMATHS de publier des cours en ce qui concerne la première,deuxième,troisième…etc année(s) de la faculté des sciences appliquées(FDSA) plus précisément en génie civile ou ingénierie,merci.

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