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Calcul mental

Sommaire

Règles de divisivilité
Additions rapides
Multiplications rapides
Simplification de fractions
Simplification de racines
Compter avec ses doigts
Conclusion

On pourrait se demander l'intérêt de faire un chapitre entier sur le calcul mental. Malheureusement un tel chapitre est plus que nécessaire au vu du niveau de certains élèves dans ce domaine. Le responsable principal de tout ça ?
Tout simplement : la calculatrice !

C’est pourquoi un autre chapitre a été dédié à la bonne utilisation de la calculatrice. Nous t’invitons à le lire après avoir lu ce chapitre
Nous allons voir ici quelques méthodes simples permettant d’effectuer certains calculs complexes très rapidement. Cela te fera gagner beaucoup de temps pendant les contrôles et te préparera à plus tard, car la calculatrice est bien souvent interdite après le lycée.

Quelques rappels simples de divisibilité


Rappelons tous d’abord les moyens de savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5...

Par 2

Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un nombre pair !

Ainsi 961853154 se termine par 4 qui est pair, donc il est divisible par 2.
En revanche, 45387612836459 se termine par 9 qui est impair, il n’est donc pas divisible par 2.

Par 4

Un nombre est divisible par 4 s'il est 2 fois divisible par 2.
On divise donc le nombre par 2, et on regarde si on peut le diviser encore une fois par 2.

Exemple : 860 et 622.
860/2 = 430, et 430 est divisible par 2, donc 860 est divisible par 4.

622/2 = 311 mais 311 n'est pas divisible par 2 !
Donc 622 n'est pas divisible par 4...

Petite astuce : pour un grand nombre de plusieurs chiffres, il suffit de regarder si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4 !!
Exemple : 6259824
Il suffit de regarder si 24 est divisible par 4.

1653698689456 : il suffit de regarde si 56 est divisible par 4.

Par 3

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Pour 14635, on fait 1+4+6+3+5 = 19, et on recommence : 1+9 = 10, et on recommence 1+0 = 1.
Or 1 n’est pas divisible par 3 donc 14635 n’est pas divisible par 3.

En revanche, pour 4569 : 4+5+6+9 = 24, 2+4 = 6, or 6 est divisible par 3, donc 4569 est divisible par 3.

Par 9

Pour 9 c’est la même chose, Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Pour 936, 9+3+6 = 18, et 1+8 = 9, or 9 est divisible par 9, donc 936 est divisible par 9.

Par 5

Pour 5 : un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
5360 et 5645 se terminent par 5, donc sont divisibles par 5, mais pas 45869 qui se termine par 9.

Par 6

Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 2 ET par 3 (voir ci-dessus)

828 est divisible par 2 car il se termine par 8 qui est pair, et par 3 car 8 + 2 + 8 = 18 qui est divisible par 3.
828 est donc divisible par 2 et 3 donc par 6.


Par 10

Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0, comme 156320 par exemple.

Par 11

Une propriété moins connue : pour 11. Il existe 2 méthodes, mais nous n’en verrons qu’une qui est plus simple :
Un peu comme pour 3 et 6, mais au lieu d’additionner les chiffres, on alterne + et – en commençant par – à gauche, et on regarde si le chiffre est divisible par 11.
Heu…. Avec des exemples ce sera plus simple :

14536873 : on fait 1-4+5-3+6-8+7-3 = 1 qui n’est pas divisible par 11, donc 14536871 non plus.

71995 : 7-1+9-9+5 = 11, qui est divisible par 11, donc 71995 est divisible par 11.

Note bien qu’il faut commencer par – à gauche, sinon ça ne marche pas !!!

Il faut également remarquer un cas particulier quand on a un nombre de 3 chiffres :
Si la somme du 1er et du 3ème donne celui du milieu, alors il est divisible par 11 !

176 est divisible par 11 car 1+6 = 7
462 est divisible par 11 car 4+2 = 6

Mais 153 n’est pas divisible par 11 car 1+3 = 4 et non 5.

Il existe bien d’autres critères comme ceux-ci mais nous les verrons pas car on ne les utilise jamais, ça ne sert donc à rien de t'encombrer la tête avec des choses inutiles

Après cette petite piqûre de rappel, passons aux choses sérieuses !

Additions rapides : regrouper intelligemment

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Nous allons détailler quelques astuces pour additionner rapidement certains nombres.
Il faut tout d’abord penser à regrouper de manière INTELIGENTE les nombres.

Calculons 4+3+6+1+5+9+5+7+2
Les moins « intelligents » prendront bêtement leur calculatrice, ce qui les rendra encore plus bête… enfin bref, ce n’est pas la bonne technique !

D’autres feront dans l'ordre 4+3 = 7, 7+6 = 13… un peu lourd comme calcul à la fin quand même.

Se terminer par 0

Comment faire alors ? Et bien on va regrouper les nombres de telle manière que cela se finisse par 0 !
Ainsi on met ensemble les nombresse terminant par :
1 et 9
2 et 8
3 et 7
4 et 6
5 et 5

Ainsi :
4+3+6+1+5+9+5+7+2 = (4+6)+(3+7)+(1+9)+(5+5)+2
= 10 + 10 + 10 + 10 + 2
= 42

C’est quand même 1 million de fois plus rapide (au moins !! ).

Bien sûr on peur faire pareil quand on a des gros nombres, c'est le dernier chiffre (le chiffre des unités) qui est important :
13 + 25 + 21 + 46 + 17 + 19 + 35 + 24 = (13+17) + (25+35) + (21+19) + (46+24)
= 30 + 60 + 40 + 70
= (30 + 70) + (60 + 40)
= 100 + 100
= 200

Tu as vu qu’à la fin, on a encore regroupé 30 et 70, et 60 et 40, pour donner 100, ça rend le calcul d'après encore plus rapide^^

Se terminer par 5

Malheureusement ce n'est pas toujours aussi simple.

Pour calculer 3 + 6 + 9 + 12, on ne peut pas regrouper de telle sorte que ça se termine par 0...

Mais ce n'est pas grave, on va regrouper de telle sorte que ça se termine par 5 !!
Donc les nombres qui se terminent par :
1 et 4
2 et 3
6 et 9
7 et 8

Ici on regroupe donc le 3 et le 12, et le 6 et 9 !
3 + 6 + 9 + 12 = (3 + 12) + (6 + 9)
= 15 + 15
= 30

Bien sûr s'il y a des nombres que l'on peut regrouper se terminant par 0 on le fait d'abord, et pour ce qui reste on utilise la technique précédente :

12 + 16 + 94 + 53 + 7 + 63 = (16 + 94) + (53 + 7) + (12 + 63)
= 110 + 60 + 75
= 170 + 75
= 245

Pareil pour les multiplications

Fais cela dans n’importe quel calcul, y compris les multiplications !!

Il faut surtout multiplier les nombres se terminant par 5 avec des nombres pairs, pour avoir ainsi un 0 à la fin.

Par exemple : 6 x 2 x 3 x 5 = (2x5) x (6x3) = 10 x 18 = 180

Si on fait dans l'ordre : (6 x 2) x (3 x 5) = 12 x 15 = ????
Là tout de suite c'est beaucoup moins évident que ça fait 180, alors que 10x18 on voit tout de suite que ça vaut 180^^

Facile n’est-ce-pas ? Avec le temps et un peu d’entraînement ça viendra tout seul
Justement voici des exercices d'additions rapides avec quelques multiplications au passage

---
PENSE TOUJOURS A REGROUPER LES TERMES DE MANIERE INTELLIGENTE !!!!
---



Entraîne-toi au calcul mental si tu veux être performant en contrôle !


Multiplications rapides

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Multiplier par 11

Pour les multiplications, il existe également d’autres astuces très intéressantes !
Pour multiplier par 11 un nombre de 2 chiffres, on met la somme des 2 chiffres entre les 2 chiffres !

11 x 24 = 264 car 2+4 = 6

11 x 34 = 374 car 3+4 = 7

11 x 27 = 297 car 2+7 = 9

Bien sûr ça ne marche que pour les petits nombres, il faut que quand on additionne les 2 chiffres on n’obtienne qu’un seul chiffre, et pas 2.
11 x 69 n’est pas égale à 6159 même si 6+9 = 15, car dans 15 il y a 2 chiffres et non 1 seul.

De même pour 67 car 6+7 = 13, 89 car 8+9 = 17…
Mais c’est une méthode à utiliser dans certains cas

Multiplier par 11 de gros chiffres

La méthode est sensiblement la même, on additionne les nombres 2 à 2 en commençant par la droite.

Exemple :
135426 x 11 :
on recopie le 6 tout à droite ============> 6
6 + 2 = 8 =======================> 86
2 + 4 = 6 ======================> 686
4 + 5 = 9=====================> 9686
5 + 3 = 8 ===================> 89686
3 + 1 = 4 ==================> 489686
on recopie la 1 tout à gauche ====> 1489686

Et voilà, on a donc 135426 x 11 = 1489686 !!!
Très très simple

Là om ça se complique un peu c'est quand il y a une retenue :
3568 x 11 :
on recopie le 8 tout à droite =================================> 8
8 + 6 = 14 : on pose 4 et on retient 1 ==========================> 48
6 + 5 = 11 + 1 de la retenue d'avant = 12 : on pose 2 et on retient 1 ====> 248
5 + 3 = 8 + 1 de la retenue d'avant = 9 ======================> 9248
on recopie le 3 tout à gauche ============================> 39248

Pour t'entraîner, voici des exercices sur la multiplication par 11.

Multiplier par 9, 99, 999, 9999...

On sait que 9 = 10 – 1
Donc 45 x 9 = 45 x (10 - 1) = 45 x 10 – 45 x 1 = 450 – 45 = 405
En gros, on multiplie par 10 et on enlève une fois le nombre

Donc 248 x 9 = 2480 – 248 = 2232

Bien sûr c’est pareil pour 99 = 100 -1 : on multiplie par 100 puis on enlève une fois le nombre
Donc 568 x 99 = 56800 – 568 = 56232

Tu vas te dire que le calcul de 2480-248 et 56800-568 n’est pas évident, mais en fait si ! On va voir comment se débrouiller avec ce truc-là
Il faut faire par étape :

Pour 2480-248, on enlève d’abord 200, puis 40, puis 8 !

D’abord 200 : 2480 – 200 = 2280
Ensuite on enlève 40 : 2280 – 40 = 2240
Et enfin 8 : 2240 – 8 = 2232.

Et voilà le travail ! Comme ça ça a l’air long mais avec l’habitude ça deviendra presque automatique et immédiat, tout se fera dans ta tête et ce genre de calculs ne te posera aucun souci

Entraîne avec ces quelques exercices sur cette technique de multiplication.

Multiplier par 5

Maintenant on va voir comment multiplier rapidement par 5 :
On utilise le fait que 5 = 10/2. Donc pour multiplier rapidement par 5, on multiplie par 10 et on divise par 2 !

658 x 5 = (658 x 10)/2 = 6580/2 = 3290

267 x 5 = 2670/2 = 1335

Très simple comme tu peux le voir !

Ces quelques exemples devraient t'aider à utiliser rapidement cette méthode

Combiner les techniques

Bien sûr n’hésite pas à mixer toutes ces techniques dans un seul calcul. Il te faudra parfois développer certaines expressions pour les simplifier :

34 x 55 = 34 x 11 x 5 car 55 = 11 x 5
= 374 x 5car 3+4 = 7
= (374 x 10)/2
= 3740/2
= 1870

Rien de mieux que des exercices de multiplications rapides pour devenir un pro du calcul mental !

Simplification de fractions

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Nous allons maintenant aborder une partie extrêmement importante : la simplification de fractions !!!

Pourquoi est-ce important ? Tout simplement parce que l’on rencontre souvent de grosses fractions à calculer et à mettre sous forme irréductible, non seulement en maths mais également en physique, dans presque tous les chapitres dès que l’on doit faire des applications numériques.

Il y a alors une règle fondamentale à suivre :

---
D’ABORD ON SIMPLIFIE, APRES ON CALCULE !!!!!!!!
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Si tu dois calculer

déçu

il serait débile de multiplier 12 et 23, puisque l’on devrait après simplifier… surtout que calculer 12 x 23 comme ça n’est pas immédiat.
A la place, ON SIMPLIFIE !!! Sachant que 60 = 12 x 5, on a :

déçu

déçu

déçu

Si l’on ne sait pas que 60 = 12 x 5, on simplifie progressivement, par 2 :

déçu

déçu

puis on simplifie encore par 2

déçu

déçu

et enfin on simplifie par 3

déçu

déçu

Trop peu d’élèves utilisent cette méthode alors qu’avec elle, les calculs de ce genre deviennent extrêmement simples !!

On retrouve souvent ce type de situation quand on calcule des p parmi n. Si tu n'as pas encore vu le chapitre sur les probabilités, clique ici pour comprendre un peu mieux la suite^^ Exemple :





Là évidemment il ne faut SURTOUT PAS calculer en haut et bas, D'ABORD ON SIMPLIFIE !!



Et là encore une fois on ne calcule pas 6 x 7 x 8... On simplifie 6 et 2x3 :



Ici on voit tout l'intérêt de simplifier avant de calculer, parce que calculer 1x2x3x4x5x6x7x8 n'est pas la chose la plus simple qui soit, même si on a vu des astuces plus haut^^

---
Il y a parfois des exceptions où il vaut mieux calculer avant de simplifier. Si on doit calculer :



Normalement il faudrait d'abord simplifier 2/12 en 1/6 mais en fait non, on va calculer directement, puisque après on devra remettre 1/6 sous la forme 2/12 pour l'additionner à 1/12... Donc ici on calcule directement :



Par contre, si on doit calculer :



Là d'abord on simplifie et après on calcule puisque les 2 fractions se simplifient :



Bon dans des cas comme ceux-là il n'y a pas vraiment de règle, c'est plus le bon sens qui te permettra de déterminer s'il faut d'abord simplifier ou non. Si tu ne veux pas te prendre la tête, commence toujours par simplifier, tu as beaucoup plus de chance d'arriver au bin résultat
---

Entraîne-toi avec ces exercices de simplification de fractions pour gagner en rapidité.
Nous t'avons également préparé des calculs de k parmi n pour qque tu sois au top avec cette notation particulière

Il est bien sûr indispensable de connaître les critères de divisibilité que l’on a vus avant, et surtout de revoir ses TABLES DE MULTIPLICATION !!!

Ca te fait sourire hein ? Et bien sache que beaucoup d’élèves ont des problèmes avec les tables, même des élèves de Terminale S spécialité mathématiques !! La faute à qui ?? A ton avis…

Pour ta culture nous avons fait une petite partie sur la manière de compter intelligemment avec ses doigts...

Simplification de racines

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On a parfois des racines à "simplifier", c'est-à-dire qu'on a


à mettre sous la forme :



La méthode est très simple : il faut dire que c = b × e où "e" est un carrée, par exemple 22, 32, 42...
Le carré choisi (4, 9, 16, 25...) divise donc le nombre c.

Prenons des exemples ce sera beaucoup plus simple :



Il faut essayer tous les carrés : 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc...
Bien sur il faut avoir un minimum d'intuition, comme ici on a 28 on ne fera que les carrés inférieurs à 28.
Il est évident que 25 ne divise pas, 16 non plus, 9 non plus, mais 4 oui car 28 = 4 × 7.

Il n'y a plus qu'à remplacer :











Et voilà, c'est terminé !

Evidemment il faut vérifier qu'on ne peut pas simplifier encore la racine. Ici √7 n'est pas simplifiable, donc on a bien terminé.

Ces exercices sur la simplification de racines sont indispensables pour maitrîser à fond cette méthode ! De nombreuses astuces y sont dévoilées

Compter sur ses doigts

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Cette partie pourrait paraître ridicule, mais ne t'niquiète pas, elle ne va pas t'apprendre à compter sur tes doigts mais plutôt te présenter une petite astuce.
Tu ne te servivras probablement jamais de cette astuce mais c'est plus pour ta culture, que tu vois une manière amusante de compter avec ses doigts^^

Cette technique permet de multiplier 2 chiffres entre 6 et 9 : 6, 7, 8 ou 9.
Par exemple 6 x 7, ou 9 x 8.

C'est très simple : chaque main représenter un des 2 chiffres. Mais comme tu n'as que 5 doigts, il faut enlever 5 au chiffre.
Ainsi, pour 6, tu lèveras UN doigt car 6 - 5 = 1.
Pour 7, DEUX doigts car 7 - 5 = 2
Pour 8 TROIS doigts et pour 9 QUATRE doigts.

Pour calculer 7 x 8, tu lèves donc 2 doigts de la main gauche (pour le 7), et 3 doigts de la main droite (pour le 8).

Ensuite tu ADDITIONNES les doigts levés (ici 2 + 3 = 5) : cela te donne le chiffre des DIZAINES.
Et tu MULTIPLIES les doigts repliés de chaque main : la main gauche à 3 doigts repliés, la droite 2 doigts repliés : 2 x 3 = 6. Cela te donne le chiffre des UNITES.

On a donc 7 x 8 = 56.

Comme tu le vois c'est très simple, avec une vidéo c'est encore plus clair
La seule difficulté c'est quand il y a une retenue mais la vidéo explique cela.

Concrètement personne n'utilise vraiment cette technique, sauf ceux qui ont du mal avec les multiplications des gros chiffres comme 7, 8 ou 9.

Conclusion



Comme tu le vois le calcul mental est très simple avec un peu d'entraînement et en connaissant quelques astuces décrites ci-dessus.Malheureusement les élèves préfèrent souvent la solution de facilité avec la calculatrice, mais ce n'est pas la meilleure solution !!

Force toi au contraire à calculer mentalement (ou à la main au brouillon) dès que tu le peux dans un exercice ou même un contrôle.
Faire des exercices spécifiques de calcul mental est un très bon entraînement qui t'aidera à coup sûr à devenir indépendant de la calculatrice

Nous t'invitions une fois de plus à lire le chapitre sur la bonne utilisation de la calculatrice


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