Introduction aux probabilités

Sommaire

Factoriel
p parmi n
Vocabulaire
Union, intersection, complémentaire
Dénombrement
Intérêt des bases des probabilités

Introduction
Les probabilités sont une grande composante des mathématiques, avec l’algèbre et l’analyse. Elles sont souvent associées aux statistiques, que tu as déjà vu en 2nde et en 1ère, mais qu’on ne voit pas en Terminale.
Dans ce chapitre, nous ferons des rappels et introduirons des outils qui permettront de calculer certaines probabilités.

Factoriel
Avant de rentrer dans le vif du sujet, il faut parler de quelque chose que l’on utilisera souvent : factoriel.
Factoriel se note avec un point d’exclamation après le chiffre concerné, par exemple : 5!. Ceci se lit « factoriel 5 ». Et on a tout simplement :

De même :

Comme tu le vois il n’y a rien de méchant
D’une manière générale :

Souvent tu auras à simplifier des fractions avec des factoriels. Voyons des exemples :

Du coup tout va se simplifier, sauf le n+1 du numérateur !

finalement :

On peut bien sûr faire cela avec n’importe quel chiffre :

Une dernière précision : tu as peut-être remarqué que si on calcule 0!, ça pose un petit souci… alors on a décidé, par convention, que 0! = 1, tout simplement

Fais ces exercices sur les factoriel pour être de plus en plus rapide avec factoriel, car ce n’est que du calcul, il n’y a pas trop à réfléchir

p parmi n

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p parmi n signifie : l’ensemble des combinaisons de p éléments dans un ensemble de n éléments. p parmi n est donc un nombre

Par exemple, on a 4 boules numérotées de 1 à 4. 2 parmi 4 est le nombre de possibilités de choisir 2 boules parmi les 4.
On peut prendre :
la 1ère et la 2ème,
la 1ère et la 3ème,
la 1ère et la 4ème,
la 2ème et la 3ème,
la 2ème et la 4ème,
la 3ème et la 4ème.
En tout,cela fait 6 possibilités. Donc 2 parmi 4 = 6.

p parmi n se note de deux manières différentes, mais dans les 2 cas on dit toujours p parmi n :


ou

Comme tu le vois cela peut porter à confusion car dans un cas le p est en bas, dans l’autre il est en haut. Cependant la 1ère notation est plus répandue et plus logique (nous verrons après pourquoi), nous utiliserons donc la 1ère notation :

Dans l’exemple de tout à l’heure, on a pu calculer 2 parmi 6 en listant toutes les possibilités car il y en avait peu. Mais quand il y en a beaucoup plus…
Il y a donc évidemment une formule générale, qui fait intervenir… les factoriel ! Ce pourquoi on en a parlé avant

On voit ici qu’il est plus logique d’écrire puisqu’il y a n! au numérateur et p! au dénominateur, il est donc plus logique de mettre n en haut et p en bas…

Reprenons l’exemple de tout à l’heure :

on simplifie :

On retrouve bien sûr le même résultat que tout à l’heure

Voici quelques propriétés à retenir, ça te fera gagner du temps
Mais si tu ne les connais ce n’est pas grave, tu peux toujours utiliser la formule, tu retrouveras le même résultat^^

Pour te souvenir de ces formules, nous t’avons préparé une vidéo expliquant l’interprétation de ces formules.
Ce sera tout de suite plus simple à retenir

Les deux dernières formules méritent quelques exemples pour comprendre leur utilité.
d’après l’avant-dernère formule :

C’est quand même plus simple que d’écrire toute la formule

La dernière formule nous dit que :

Cela peut être parfois utile, mais moins souvent que la précédente.

Entraîne-toi sur ces exercices de p parmi n pour être au top

Pour ta culture, il exsite un tableau très facile à faire qui permet de connaître rapidement les valeurs des p parmi n : le tableau de Pascal !
Nous t’invitons à regarde cette vidéo sur le triangle de Pascal poue savoir de quoi il s’agit.

Vocabulaire

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Maintenant que l’on a vu ces outils de calcul, passons au coeur même du sujet : les probabilités.
Il y a pas mal de vocabulaire spécifique aux probabilités, nous allons donc commencer par cela.

Tout d’abord, nous allons travailler dans un UNIVERS.
Un univers, c’est quoi ?
C’est tout simplement l’ensemble des choix possibles.
Si on tire à pile ou face, l’unviers est : « pile, et face ».
Si on tire une carte dans un jeu de 52 cartes, l’univers est l’ensemble des 52 cartes : « as de pique, 2 de pique, 3 de pique… »
Si on lance un dé, l’univers est « 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6  »

L’univers est souvent noté Ω (à prononcer oméga), et l’ensemble des possibilités est noté entre ACCOLADES, et les différentes possibilités sont séparées par des points virgule :
Ω = { pile ; face }
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Il arrive que l’on répète plusieurs fois de suite une expérience. Par exemple, on tire 2 fois à pile ou face et on regarde combien on a eu de piles et de faces. Il y a donc 4 possibilités :
Pile et pile
Pile et face
Face et pile
Face et face

Quand on est dans cette situation, on note chauqe possibilité entre parenthèses, et on sépare avec des points virgule :
Pile et pile ===> (pile ; pile)
Pile et face ===> (pile ; face)
Face et pile ===> (face ; pile)
Face et face ===> (face ; face)

Et du coup, on a
Ω = {(pile ; pile) ; (pile ; face) ; (face ; pile) ; (face ; face)}

Chaque élément de Ω est appelé EVENEMENT ELEMENTAIRE, parce qu’il n’y en a qu’un !
Pour le dé par exemple, « 1 » est un événement élémentaire, « 5 » est aussi un événement élémentaire.

On peut bien sûr avoir plusieurs événements élémentaires regroupés : c’est un événement.
Par exemple, « avoir un nombre pair » est un événement, constitué de 2, 4 et 6. Ce n’est donc pas un événement élémentaire puisqu’il y a plusieurs possibilités, c’est un événement tout court.
Un événement est souvent noté avec une lettre majuscule. Par exemple, on peut dire A = « avoir un nombre pair ».
Comme pour Ω on note ce qu’il y a dans un événement entre accolades.
Ici, A = « avoir un nombre pair », donc A = {2 ; 4 ; 6}.

Le nombre d’éléments d’un événement est appelé le CARDINAL. Il est noté card.
Par exemple, si A = {2 ; 4 ; 6}, card(A) = 3, car il y a 3 éléments.
Si B = {2 ; 8 ; 9 ; 56 ; 112}, card(B) = 5.

Généralement, on représente Ω et les événements par des « patates » :

Les tailles des patates n’ont aucune importance, c’est le principe qui est important. Nous allons voir juste après à quoi ça sert

Une dernière chose : l’ensemble vide.
L’ensemble vide, c’est quand il n’y a rien, mais alors vraiment rien de rien, même pas 0 !!
Si je te dis par exemple que A est l’ensemble des prénoms des personnes nées au 17ème siècle et encore vivantes, et bien A est l’ensemble vide !
Attention !! Je n’ai pas dit le NOMBRE de personnes, j’ai dit leur PRENOM. Si j’avais dis le nombre, là oui ça aurait été 0, mais ici ce sont les prénoms, il n’y en a donc pas.
L’ensemble vide se note de cette façon, un rond barré : ∅
On a donc ici A = ∅.

Autre exemple, si on note B l’ensemble des nombres négatifs supérieurs à 5, il n’y en a pas, donc B = ∅.

En probabilités on se sert assez peu de l’ensemble vide, généralement on s’en sert plutôt pour les solutions d’équations
Si on cherche par exemple les solutions réelles de l’équation x2 = -2, il n’y en a pas, donc l’ensemble des solutions S = ∅.

Union, intersection, complémentaire

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On fait souvent des opérations sur les événements : des unions, des intersections, et des complémentaires.

L’intersection, c’est très simple, c’est ce qu’il y a en commun ! Le signe de l’intersection est ∩, un u majuscule renversé !
Si par exemple on a 2 événements A et B et qu’on veut faire leur intersection, on note A ∩ B. Cela se lit « A inter B ».

Reprenons l’exemple du dé.
Imaginons que A= « avoir un nombre impair » et B= « avoir un nombre supérieur ou égal à 3  » .
A = {2 ; 4 ; 6}, et B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
On voit que ce qu’il y a en commun, est 4 et 6, donc A ∩ B = {4 ; 6}.

Graphiquement, A ∩ B est la zone où il y a les 2 patates en même temps :

L’union de A et B, c’est prendre tout ce qu’il y a dans A et dans B, mais bien sûr on ne prend qu’une fois ce qu’il y a en commun.
L’union se note ∪, un u majuscule, comme union quoi ! Comme l’intersection,on note A ∪ B, et on lit « A union B ».

Reprenons l’exemple A = {2 ; 4 ; 6}, et B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
Il y a le 2, le 3, le 4, le 5 et le 6. Il y a 4 et 6 dans A et B mais on ne le prend qu’une seule fois, donc :
A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Graphiquement, c’est toute la zone couverte par A et B :

Nous allons te donner une formule qui n’est pas mathématiquement correcte mais qui permettra d’expliquer une formule dans le chapitre suivant :

Si tu n’arrives pas à comprendre cette formule, voilà l’explication : on a dit que A ∪ B était tout ce qu’il y avait dans A et B. On prend donc A + B. Mais du coup on prend 2 fois tout ce qui est en commun !
Il faut donc enlever un « exemplaire » de chaque élément qui était en commun. Or ce qui est en commun c’est… l’intersection !
On enlève donc A ∩ B, comme ça il n’y a plus rien en double !


ATTENTION !! Cette formule n’est pas mathématiquement correcte car on a ajouté et soustrait des ensembles !!
Or sur des ensembles, on ne fait que des unions et des intersections ! Mais ici c’est plus pour que tu puisses comprendre

Enfin, la dernière opération que l’on fera sur des événements : le complémentaire. Il se note , et se prononce « a barre », comme pour les complexes, mais ça n’a rien à voir !!
C’est très simple, le complémentaire de A, c’est tout ce qu’il n’y a pas dans A ! Mais qui est dans Ω bien sûr

Par exemple le dé, Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, et A = {2 ; 4 ; 6}.
= {1 ; 3 ; 5}

Si B = {1 ; 5 ; 6}
= {2 ; 3 ; 4}

C’est extrêmement simple !
Graphiquement, correspond à tout ce qui n’est pas dans A :


Dénombrement

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Le dénombrement consiste à calculer un nombre, souvent c’est le nombre de possibilités, d’événements.
Pour cela, on va parfois utiliser des ARBRES !

Tirage SANS remise

Par exemple, supposons que l’on a 3 chevaux, A, B et C. On veut savoir le nombre de possibilités pour l’ordre d’arrivée. Pour cela, on va faire un arbre.

Pour faire un arbre, on part toujours d’un point central. On fait alors des branches correspondant au 1er tirage : il y a autant de branches que de possibilités.
Ici le 1er tirage correspond au 1er arrivé, on a 3 choix : A, B, et C.

A partir de chaque possibilité on refait des branches, autant de branches qu’il y a de possibilités. Ici, il n’y a plus que 2 possibilités à chaque fois, puisque celui qui est arrivé en 1er ne vas pas arriver aussi en 2ème… :

Et on recommence ! Là il n’y a plus qu’une seule possibilité pour le 3ème cheval, puisque les 2 premiers sont déjà arrivés :

Et voilà, on a notre arbre !
Pour calculer le nombre de possibilités, on regarde combien on a de choix à chaque fois :
pour le 1er on a 3 choix, pour le 2ème 2 choix, et le troisième 1 choix.
Il faut alors savoir qu’on MULTIPLIE le nombre de choix, donc ici :
nombre de possibilités = 1 × 2 × 3 = 6

On remarque que ce chiffre est en fait factoriel 3 !
En effet, on a vu que 1 × 2 × 3 = 3!
En fait, c’est ce qu’on appelle un TIRAGE SANS REMISE. C’est comme au loto, on tire des boules sans les remettre.
Comme il y a 49 boules au loto, il y a 49! tirage possibles !! Ce qui fait quand même 6.08281864 × 1062…mais y’a quand même des gens qui gagnent !

Tu l’auraus compris, quand on cherche le nombre de tirages possibles de n éléments dans un tirage SANS REMISE c’est :


ATTENTION ! Cette formule n’est valable que si on tire TOUS les éléments, sinon il faut faire autrement.

Tirage AVEC remise

Mais il y a bien sûr parfois des tirages AVEC REMISE. Si par exemple on a 3 boules dans une urne, et qu’on tire 5 fois de suite en remettant la boule à chaque fois dans l’urne, c’est bien un tirage AVEC remise !
La première fois, on a 3 possibilités. Mais la 2ème fois aussi puisqu’on a remis la boule. Et la 3ème fois aussi, jusqu’à la 5ème fois.
On multiplie alors les possibilités :
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35

Ainsi, si on cherche le nombre de tirages possibles de p éléments si on fait n fois de suite la même expériences, c’est :

Combinaisons

Enfin la dernière que l’on va voir : les combinaisons.
Une combinaison, c’est un ensemble d’éléments parmi un certain nombre.
Par exemple, si on prend un dé, il y a 6 possibilités en tout. Si l’on veut le nombre de couples (par exemple (1 ; 2), (4 ; 5), (3 ; 3)…), et bien cela revient à chercher le nombre de combinaisonsde 2 éléments parmi 6.
Et là d’après la phrase, tu as compris que c’était la formule : 2 parmi 6
Il y a donc = 15 couples possibles pour un dé.

Ainsi, le nombre de combinaisons à p éléments parmi un ensemble de n éléments est :

Intérêt des probabilités
Comme tu vas le voir après, le chapitre sur les probabilités est très dense, avec beaucoup d’informations à connaître. Il est donc impératif que tu maîtrises parfaitement les bases des probabilités, à savoir le vocabulaire et les calculs nouveaux, comme factoriel et p parmi n.

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14 réflexions sur “ Introduction aux probabilités ”

  1. Bonjour
    Encore merci pour ce super site.
    Les liens vers les vidéos de ce chapitre (cours terminale, introduction aux probabilités) sont morts.

  2. Je suis tellement ému par la qualité de votre site… On va à l’essentiel avec des explications pleines d’humilité et de simplicité. Merci infiniment ! J’ai un blocage avec les maths depuis une dizaine d’années mais grâce à votre travail je suis plus que déterminé à surmonter mes lacunes. Merci encore.

  3. Avec mon niveau seconde je n’ai pas compris la totalité, mais ce site m’a vraiment aidé à répondre à toutes mes questions extrêmement concrètement. Merci!

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