Annales sur les équations différentielles

Sommaire

Rochambeau 2009 exo 1
Réunion 2010 exo 3

Rochambeau 2009 exercice 1
Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.
(La partie B traite des probabilités et se trouve donc dans la partie correspondante).
Partie A : étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours
Au début de l’épidémie, on constate que 0,01% de la population est contaminée.
Pour t appartenant à [0 ; 30], on note y(t le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours.
On a donc y(0) = 0,01.

On admet que la fonction y ainsi définie sur [0 ; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
y’ = 0,05y(10 – y)

1) On considère la fonction z définie sur l’intervalle [0 ; 30] par :

Démonter que la fonction y satisfait aux conditions :

si et seuelement si la fonction z satisfait aux conditions

2) a) En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y.
b Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche.




Réunion 2010 exercice 3

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Les 2 parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A :
On cherche à déterminer l’ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur ]0 ; +∞[ vérifiant la condition (E) :
pour tout nombre réel x strictement positif : x f ‘(x) – f(x) = x2e2x

1) Montrer que si une fonction f , définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[, vérifie la condition (E), alors la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

vérifie :
pour tout nombre réel x strictement positif, g'(x) = e2x

2) En déduire l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui vérifient la condition (E).

3) Quelle est la fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui vérifie la condition (E) et qui s’annule en ½

Partie B :
On considère la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

On désigne par c sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1) Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif x, le signe de h(x).

2) a) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale


et en déduire

b) En déduire, en unité d’aire, la valeur exacte de l’aire de la partie du plan située en dessous de l’axe des abscisses et au dessus de la courbe c.






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