On considère le point A d’affixe 2 et le cercle C de centre O passant par A.
Dans tout l’exercice on note α = 1 + i√3 et le nombre complexe conjugué de α.
1) a) Démonter que :
b) Démontrer que les points B et C d’affixe α et appartiennent au cercle C.
2) Soit D un point du cercle C d’affixe 2eiθ où θ est un nombre réel de l’intervalle ]-π ; π]
a) Construire sur la figure ci-dessous le point E image du point D par la rotation de centre O et d’angle π/3
b) Justifier que le point E a pour affixe zE = αeiθ
3 Soient F et G les milieux respectifs des segments [BD] et [CE].
a) Justifier que le point F a pour affixe :
b) On admet que le point G a pour affixe
Démontrer que :
On pourra utiliser la question 1)a)
En déduire que le triangle AFG est équilatéral.
4) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans la notation.
A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, défini à la question 2, pour laquelle la longueur AF du triangle AFG est minimale.
On admet que AF2 = 4 – 3cos(θ) + sin(θ)√3
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [-π ; π] par
f(x) = 4 – 3cos(x) + sin(x)√3
Le tableau ci-dessous donne les variations de la fonction f sur l’intervalle [-π ; π].
Compléter ce tableau de variation. Permet-il de valider la conjecture ? Justifier.